Những câu hỏi liên quan
Tâm Cao
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 2 2021 lúc 6:39

Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn trên bởi 2

Thật vậy, với \(n=1;2\) thỏa mãn

Giả sử điều đó cũng đúng với \(n=k\) , tức \(u_k< 2\)

Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)

Ta có: \(u_{k+1}=\sqrt{3u_k-2}< \sqrt{3.2-2}=2\) (đpcm)

Tương tự, ta cũng quy nạp được dễ dàng \(u_n>1\)

Mặt khác: \(u_n-u_{n-1}=\sqrt{3u_{n-1}-2}-u_{n-1}=\dfrac{3u_{n-1}-2-u_{n-1}^2}{\sqrt{3u_{n-1}-2}+u_{n-1}}\)

\(=\dfrac{\left(2-u_{n-1}\right)\left(u_{n-1}-1\right)}{\sqrt{3u_{n-1}-2}+u_{n-1}}>0\)

\(\Rightarrow u_n>u_{n-1}\Rightarrow\) dãy tăng

Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.

Gọi giới hạn đó là k thì:

\(k=\sqrt{3k-2}\Leftrightarrow k=2\)

Bình luận (0)
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Cao Minh Tâm
14 tháng 6 2018 lúc 15:42

Bình luận (0)
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Akai Haruma
28 tháng 3 2021 lúc 21:09

Lời giải:

$\frac{u_{n-1}}{u_n}=\frac{n^2}{n^2-1}>0$ với mọi $n\geq 2$ nên $u_{n-1}, u_n$ luôn cùng dấu.

Mà $u_1=2017>0$ nên $u_n>0$ với mọi $n=1,2,...$

Mặt khác:

$n^2(u_{n-1}-u_n)=u_{n-1}>0\Rightarrow u_{n-1}>u_n$ nên dãy $(u_n)$ là dãy giảm.

Dãy giảm và bị chặn dưới nên $u_n$ hội tụ. Đặt $\lim u_n=a$. 

Ta có: $a=n^2(a-a)\Rightarrow a=0$

Vậy $\lim u_n=0$

 

Bình luận (0)
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyentatthanh
Xem chi tiết
Lê Song Phương
14 tháng 8 2023 lúc 6:37

 Dễ thấy \(u_n>0,\forall n\inℕ^∗\)

 Ta có \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n^2+2021}{2u_n}-u_n=\dfrac{2021-u_n^2}{2u_n}\)

 Với \(n\ge2\) thì \(u_n=\dfrac{u_{n-1}^2+2021}{2u_{n-1}}\) \(=\dfrac{u_{n-1}}{2}+\dfrac{2021}{2u_{n-1}}\) \(>2\sqrt{\dfrac{u_{n-1}}{2}.\dfrac{2021}{2u_{n-1}}}\) \(=\sqrt{2021}\)

Vậy \(u_n>\sqrt{2021},\forall n\ge2\), suy ra \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2021-u_n^2}{2u_n}< 0,\forall n\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\) Dãy \(\left(u_n\right)\) là dãy giảm. Mà \(u_n>\sqrt{2021}\)  \(\Rightarrow\left(u_n\right)\) có giới hạn hữu hạn. Đặt \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=L\) \(\Rightarrow L=\dfrac{L^2+2021}{2L}\) \(\Leftrightarrow L=\sqrt{2021}\)

 Vậy \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=\sqrt{2021}\)

 

Bình luận (0)
Nguyễn Chí Dũng
14 tháng 8 2023 lúc 8:11

Dễ thấy ��>0,∀�∈N∗

 Ta có ��+1−��=��2+20212��−��=2021−��22��

Bình luận (0)
Đào Trí Bình
14 tháng 8 2023 lúc 8:37

lim(n =) + ∞) un = \(\sqrt{2021}\) 

Bình luận (0)
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Cao Minh Tâm
1 tháng 9 2018 lúc 11:11

Bình luận (0)
phương mai
Xem chi tiết
Hồng Nhan
26 tháng 11 2023 lúc 21:33

loading...

Bình luận (0)
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Cao Minh Tâm
24 tháng 4 2017 lúc 7:45

Lấy số dương ε bé tùy ý bất kì:

⇒ có một số n0 thỏa mãn: |vn| < ε kể từ n = n0.

⇒ |un – 2| < vn < |vn| < ε kể từ n = n0 trở đi

⇒ lim (un – 2) = 0

⇒ lim un = 2.

Bình luận (0)