Hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-5x+4\le0\\x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\end{matrix}\right.\) có tập nghiệm biểu diễn trên trục số có độ dài bằng 1, với giá trị của m bằng ?
hệ bpt\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-5x+4\le0\\x^2-\left(m^2+3\right)+2\left(m^2+1\right)\le0\end{matrix}\right.\) có tập nghiệm biểu diễn trên trục số có độ dài bằng 1 , với giá trị của m là
Xét \(x^2-5x+4\le0\Leftrightarrow1\le x\le4\Rightarrow D_1=\left[1;4\right]\)
Xét \(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-m^2-1\right)\le0\)
- Nếu \(\left|m\right|\ge1\Rightarrow D_2=\left[2;m^2+1\right]\)
- Nếu \(\left|m\right|< 1\Rightarrow D_2=\left[m^2+1;2\right]\)
Do \(2\in\left[1;4\right]\), để \(D=D_1\cap D_2\) là 1 đoạn có độ dài bằng 1
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+1=1\\m^2+1=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Bài 1: Tìm m sao cho hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x-2\ge0\end{matrix}\right.\)có nghiệm.
Bài 2: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+10x+16\le0\\mx\ge3x+1\end{matrix}\right.\)vô nghiệm.
Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)
Nếu m = 1, hệ vô nghiệm
Nếu m ≠ 1, hệ tương đương
\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm
a) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1>0\\x-m< 2\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}3\left(x-6\right)< -3\\\dfrac{5x+m}{2}>7\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-1\le0\\x-m>0\end{matrix}\right.\)
d) \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\\left(m^2+1\right)x< 4\end{matrix}\right.\)
e) \(\left\{{}\begin{matrix}m\left(mx-1\right)< 2\\m\left(mx-2\right)\ge2m+1\end{matrix}\right.\)
a, hệ\(\Leftrightarrow\)$\left \{ {{x>\frac{1}{2} } \atop {x<m+2}} \right.$
để hệ có nghiệm ⇒ m+2< $\frac{1}{2}$ ⇒ m<$\frac{-3}{2}$
Tìm giá trị của tham số m sao cho hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x+m\le0\\x^2-4x-6m\le0\end{matrix}\right.\)
1tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1\ge3\\x-m\le0\end{matrix}\right.\)
2hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1>0\\x-m< 2\end{matrix}\right.\)có nghiệm khi ??
3 hệ bất phương trình có nghiệm khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+m\le0\\x^2-x+4< x^2-1\end{matrix}\right.\)
4 tìm tất cả các giá trị của m đề với mọi giá trị của x thỏa mãn \(-1\le\dfrac{x^2+5x+m}{2x^2-3x+2}< 7\)
5 với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=1\\x+y\sqrt{3}< m\end{matrix}\right.\)
6 với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x+a\le0\\x^2-4x-6a\le0\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất
a) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1\ge3\\x-m\le0\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}m^2x\ge6-x\\3x-1\le x+5\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2\ge x^2+7x+1\\2m\le8+5x\end{matrix}\right.\)
d) \(\left\{{}\begin{matrix}mx\le m-3\\\left(m+3\right)x\ge m-9\end{matrix}\right.\)
e)\(\left\{{}\begin{matrix}2m\left(x+1\right)\ge x+3\\4mx+3\ge4x\end{matrix}\right.\)
a.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le m\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m=2\)
b.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+1\right)x\ge6\\2x\le6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{6}{m^2+1}\\x\le3\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{6}{m^2+1}=3\)
\(\Leftrightarrow m=\pm1\)
c.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+9\ge x^2+7x+1\\5x\ge2m-8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{8}{13}\\x\ge\dfrac{2m-8}{5}\end{matrix}\right.\)
Pt có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{2m-8}{5}=\dfrac{8}{13}\Leftrightarrow m=\dfrac{72}{13}\)
d.
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
TH1:
\(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-9=m^2-9m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=1\)
TH2:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+3< 0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=1\) (ktm)
Vậy \(m=1\)
e.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)x\ge-2m+3\\\left(4-4m\right)x\le3\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)\left(4-4m\right)>0\\\dfrac{-2m+3}{2m-1}=\dfrac{3}{4-4m}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}< m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}\)
Cho hệ bất phương trình\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\x^2-3\left|x\right|x-m^2+6m\ge0\end{matrix}\right.\) . Tìm m để hệ có nghiệm
Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x+2\le0\\mx+1-m\le0\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x+2\le0\\mx+1-m\le0\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}1\le x\le2\\x\le\dfrac{-1+m}{m}\end{matrix}\right.\)
để hpt trên có nghiệm thì \(\dfrac{-1+m}{m}\le2\) ĐK m ≠ 0
\(< =>m\ge-1\)
Vậy .....
\(x^2-3x+2\le0\Leftrightarrow1\le x\le2\) \(\Rightarrow D_1=\left[1;2\right]\)
Xét \(mx\le m-1\)
- Với \(m=0\) BPT vô nghiệm
- Với \(m>0\Leftrightarrow x\le\dfrac{m-1}{m}\) \(\Rightarrow D_2=(-\infty;\dfrac{m-1}{m}]\)
Hệ có nghiệm khi \(D_1\cap D_2\ne\varnothing\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{m}\ge1\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn
- Với \(m< 0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{m-1}{m}\Rightarrow D_2=[\dfrac{m-1}{m};+\infty)\)
\(D_1\cap D_2\ne\varnothing\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{m}\le2\)
\(\Leftrightarrow m-1\ge2m\Rightarrow m\le-1\)
Vậy \(m\le-1\)
Tìm m để hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-1\le0\\x-m>0\end{matrix}\right.\)có nghiệm
`x^2-1<=0`
`<=>x^2<=1`
`<=>-1<=x<=1`
`x-m>0<=>x>m`
PT có nghiệm
`=>m>=-1`