Ai giải được không ?

vừa làm trên học24 xong mà ko đưa dc link thôi nhai lại vậy :v

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}}=\frac{3a^2}{\sqrt{7}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3b^2}{\sqrt{7}};\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{a^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3c^2}{\sqrt{7}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2P+\frac{a^2+b^2+c^2+9}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\sqrt{7}}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}{7\sqrt{7}}-\frac{3\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\sqrt{7}}}{2}\ge\frac{\frac{\sqrt{7}}{21}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{42}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Có thiếu dấu . nào ko nhỉ :v, tự nhai lại nên vẫn thấy ngon :v

bài này 
áp dụng cô si ta có 
a³/b + ab ≥ 2a² 
b³/c + bc ≥ 2b² 
c³/a + ac ≥ 2c² 
+ + + 3 cái lại 
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ 2a² + 2b² + 2c² - ab - ac - bc 
mặt khác ta có 
ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² (cái này chứng minh dễ dàng nhé) 
thay vào 
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ a² + b² + c² ≥ 1 
=>minP = 1 
dấu bằng xảy ra <=. a = b = c = 1/√3 
( bài này sử dụng A + B ≥ 2C mà B ≤ C => A ≥ C)

k và kết bạn cho mình nha !!!

Chào các bạn mình có ý kiến như sau: Bài làm của bạn Thắng Nguyễn mik nghĩ rằng bị sơ xuất một chỗ là  thêm lượng \(\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\)

là không phù hợp vì nếu thay x=1/3 vào thì \(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\)không thế bằng \(\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\) do đó dấu bằng không xảy ra. Đó la ý kiến của mình, có j sai mong các bạn thông cảm

\(\sqrt{a^2+2ab+2b^2}=\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left(4+1\right)\left[\left(a+b\right)^2+b^2\right]}\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(2a+2b+b\right)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(2a+3b\right)\)

Tương tự:

\(\sqrt{b^2+2bc+2c^2}\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(2b+3c\right)\)

\(\sqrt{c^2+2ca+2a^2}\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(2c+3a\right)\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(5a+5b+5c\right)=\sqrt{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}}\ge\dfrac{2}{a+1+a^2-a+1}=\dfrac{2}{a^2+2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{a^2+2}+\dfrac{2}{b^2+2}+\dfrac{2}{c^2+2}\)

Do \(abc=8\Rightarrow a^2b^2c^2=64\) , tồn tại các số thực dương x;y;z sao cho:

\(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(\dfrac{4x}{y};\dfrac{4y}{z};\dfrac{4z}{x}\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{\dfrac{4x}{y}+2}+\dfrac{2}{\dfrac{4y}{z}+2}+\dfrac{2}{\dfrac{4z}{x}+2}=\dfrac{y}{2x+y}+\dfrac{z}{2y+z}+\dfrac{x}{2z+x}\)

\(VT\ge\dfrac{x^2}{x^2+2xz}+\dfrac{y^2}{y^2+2xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2yz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\) (đpcm)

Vì a, b, c dương nên ta có:

\(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=a+\sqrt{\frac{1}{2}a2b}+\sqrt[3]{\frac{1}{4}ab4c}\le a+\frac{1}{4}a+b+\frac{1}{12}a+\frac{1}{3}b+\frac{4}{3}c=\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)

(Bất đẳng thức Cô si)

Khi đó:

\(M\ge\frac{3}{4\left(a+b+c\right)}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}+2017=3\left(\frac{1}{4\left(a+b+c\right)}-\frac{2}{\sqrt{a+b+c}}+1\right)+2014\)

\(=3\left(\frac{1}{2\sqrt{a+b+c}}-1\right)^2+2014\ge2014\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{4}a=b=4c\\\frac{1}{2\sqrt{a+b+c}}=1\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của M bằng 2014