Để S là số chính phương

\(\Rightarrow2^n+1=k^2\Rightarrow2^n=k^2-1=\left(k-1\right).\left(k+1\right)\)

\(\text{Vì }2^n\text{ chẵn }\Rightarrow\left(k-1\right).\left(k+1\right)\text{ chẵn }\)=> k-1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp. 

Dễ thấy 2ⁿ =2.2..2 ( n chữ số 2)

Mà k-1 và k+1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp (hơn kém nhau 2 đơn vị) => k-1=2 và k+1=4 <=> k=3

=> 2ⁿ+1=3²=9 => 2ⁿ=8 <=> n=3

Vậy n=3

sửa dòng 2:=>  Đặt 2ⁿ+1=k²

a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

b, nếu n=0 thì n⁴ -  n  +2=2(loại)

nếu n=1 thì n⁴ -  n  +2=2(loại)

nếu n=2 thì n⁴ -  n  +2=16(nhận)

nếu n>=3 thì n⁴-n+2>(n²)²-2n+1=(n²-1)²  

n⁴-n+2<(n²)² (vì n>=3 nên -n+2<0)

suy ra (n²-1)²  <n⁴-n+2<(n²)² suy ra n>=3 ko là số cp

vậy n=2

 Với n = 1 thì \(n^2-n+2=2\) không là số chính phương.

Với n = 2 thì \(n^2-n+2=4\)là số chính phương

Với n > 2 thì \(n^2-n+2\)không là số chính phương vì :

\((n-1)^2< n^2-(n-2)< n^2\)

Đặt P = n⁴ + n³ + n² + n + 1 

Với n = 1 => A = 3 => loại

Với n \(\ge\)2 ta có: 

(2n² + n - 1) < 4A \(\le\)(2n² + n)² 

=> 4A = (2n² + n)² 

Vậy: n = 2 thỏa mãn đề bài

*P/s: Mik ko chắc*

Đáp án sai mà mn

Thay n=2 ta có

\(n^4+n^3+n^2+n+1\)\(=31\): ko là số chính phương

Đáp án là n=3

Ta cũng dùng nguyên lý kẹp để tìm n

Đặt A=\(n^4+n^3+n^2+n+1\)

Xét n=1,2=> ko tm

Xét n=3=>A=11^2 (tm)

Ta cm n>3 thì A là ko là số chính phương

.....

+, Nếu n=3 thì A = 9 = 3^2 ( t/m )

+, Nếu n=4 thì A = 33 ( ko t/m )

+, Nếu n >= 5 thì A sẽ có tận cùng chữ số tận cùng của 1!+2!+3!+4! nên A có chữ số tận cùng là 3 (vì 5! ; 6! ; ... ; n! đều có chữ số tc là 0)

=> A ko phải là số chinhd phương 

Vậy n = 3

Tk mk nha