\(VT=\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{1+9a^2}\)

\(VT=a-\frac{9ab^2}{1+9b^2}+b-\frac{9bc^2}{1+9c^2}+c-\frac{9ca^2}{1+9a^2}\)

\(VT\ge a+b+c-\left(\frac{9ab^2}{6b}+\frac{9bc^2}{6c}+\frac{9ca^2}{6a}\right)\)

\(VT\ge1-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

\(VT\ge1-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :

\(\left(9a^3+3b^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Rightarrow9a^3+3b^2+c\ge\frac{1}{\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{9a^3+3b^2+c}\le a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\)

Thực hiện tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế :
\(P\le\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{a+b+c}{3}+\left(ab+bc+ac\right)\)

\(P\le\frac{2}{3}+ab+bc+ac\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM - GM :

\(ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\Rightarrow P_{max}=1\)

Vậy GTLN của P là 1 khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((9a^3+3b^2+c)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\geq (a+b+c)^2=1\)

\(\Rightarrow 9a^3+3b^2+c\geq \frac{1}{\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c}\)

\(\Rightarrow \frac{a}{9a^3+3b^2+c}\leq a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\)

Thực hiện tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:

\(\Rightarrow P\leq \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{a+b+c}{3}+(ab+bc+ac)\)

\(P\leq \frac{2}{3}+ab+bc+ac\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\leq \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\Rightarrow P_{\max}=1\)

Vậy GTLN của $P$ là $1$ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ta có: \(\dfrac{a}{1+9b^2}=a-\dfrac{9ab^2}{1+9b^2}\ge a-\dfrac{3ab}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(\text{Σ}\dfrac{a}{1+9b^2}\ge a+b+c-\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}\ge a+b+c-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

(Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương, ta có:

\(\text{ }ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow3\left(\text{ }ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\))

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

\(\)

\(\frac{a}{9b^2+1}=\frac{a\left(9b^2+1\right)-9ab^2}{9b^2+1}=a-\frac{9ab^2}{9b^2+1}\ge a-\frac{9ab^2}{2\sqrt{9b^2.1}}=\)

\(=a-\frac{9ab^2}{6b}=a-\frac{3ab}{2}\)

Tương tự với các biểu thức còn lại, kết hợp với 

\(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)

là được đáp án.

Ta có:

\(\frac{1+a}{1+9b^2}=a+1-\frac{9b^2\left(a+1\right)}{1+9b^2}\ge a+1-\frac{9b^2\left(a+1\right)}{2\sqrt{9b^2}}=a+1-\frac{3b\left(a+1\right)}{2}\)

Tương tự: \(\frac{1+b}{1+9c^2}\ge b+1-\frac{3c\left(1+b\right)}{2}\) ; \(\frac{1+c}{1+9a^2}\ge c+1-\frac{3a\left(c+1\right)}{2}\)

Cộng vế với vế:

\(Q\ge4-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

\(Q\ge\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)