Do x + y + z = 0 nên

x = - (y + z) ; y = - (x + z) ; z = - (x + y)

=> x² = (y + z)² ; y² = (x + z)² ; z² = (x + y)²

=> ax² + by² + cz² = a(y² + 2yz + z²) + b(x² + 2xz + z²) + c(x² + 2xy + y²) = x²(b + c) + y²(a + c) + z²(a + b) + 2(ayz + bxz + cxy)              (1) 

Thay a = - (b + c) ; b = - (a + c) ; c = - (a + b) (Do a + b + c = 0 ) và ayz+bxz+cxy=0 (do a/x+b/y+c/z=0) vào (1) ta được ax² + by² + cz² = - (ax² + by² + cz²)

=> ax² + by² + cz² = 0

to ko hieu noi

Ta có \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0\Leftrightarrow ayz+bzx+cxy=0\).

Do đó: \(ax^2+by^2+cz^2=\left(ax+by+cz\right)\left(x+y+z\right)-axy-axz-byz-byx-czx-czy=0-xy\left(a+b\right)-yz\left(b+c\right)-zx\left(c+a\right)=0+xyc+yza+zxb=0\).

Phá ngoặc hết ra rồi phân tích thành tổng 3 bình phương.

Câu hỏi của nguyễn ngọc minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

nhan 2 ve voi a^2+b^2+c^2 dc toan binh phuong ,lon hon 0 nen x=y=z=0

CÁCH 1: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

CÁCH 2: Nhân tung tóe cả 2 vế ra(đây cũng là cách CM bất đẳng thức bunhia cho bộ 3 số)

Từ \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\)

Từ \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(x+z\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)

Thay vào \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(b+c\right)}{-\left(y+z\right)}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

\(\Rightarrow2byz+2cyz+bz^2+cy^2=0\)

\(\Rightarrow-\left(b+c\right).-\left(y+z\right)^2+by^2+cz^2=0\)

\(\Rightarrow\text{ax}^2+by^2+cz^2=0\)(dpcm)

Suy ngược nha k chắc

từ x + y + z = 0 suy ra x² = ( y + z )² , y² = ( x + z )² , z² = ( x + y )² 

do đó :

ax² + by² + cz² = a ( y + z )² + b ( x + z )² + c ( x + y )²

= a ( y² + 2yz + z² ) + b ( x² + 2xz + z² ) + c ( x² + 2xy + y² )

= x² ( b + c ) + y² ( a + c ) + z² ( a + b ) + 2 ( ayz + bxz + cxy )                   ( 1 )

thay b + c = -a ; a + c = -b ; a + b = -c do a + b +c = 0 và thay ayz + bxz + cxy = 0 do \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)vào ( 1 )

Ta được : ax² + by² + cz² = -ax² - by² - cz² 

nên 2 ( ax² + by² + cz² ) = 0 \(\Rightarrow\)ax² + by² + cz² = 0

ta có x+y+z=0 =>x^2=(y+z)^2
y^2=(x+z)^2
z^2=(x+y)^2
do đó ax^2+by^2+cz^2
=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(x+y)^2
=a(y^2+2yz+z^2)+b(x^2+2xz+z^2)
+c(x^2+2xy+y^2)
=x^2(b+c)+y^2(a+c)+z^2(a+b)
+2(ayz+bxz+cxy) (1)
thay b+c=-a ,a+c=-b , a+b=-c do a+b+c=0
và ayz+bxz+cxy=0 do a/x+b/y+c/z=0 vào (1) ta được
ax^2+by^2+cz^2 = -(ax^2+by^2+cz^2)
=> ax^2+by^2+cz^2=0

Ta có:

\(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{a+b}{x+y}=0\Leftrightarrow ay\left(x+y\right)+bx\left(x+y\right)+xy\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow axy+ay^2+bx^2+bxy+axy+bxy=0\)

\(\Leftrightarrow ay^2+2axy+2bxy+bx^2=0\)

Vậy:

\(ax^2+by^2+cz^2=ax^2+by^2-\left(a+b\right)\left(x+y\right)^2\)

\(=ax^2+by^2-\left(ax^2+2axy+ay^2+bx^2+2bxy+by^2\right)\)

\(=-\left(ay^2+2axy+2bxy+by^2\right)=-0=0\)