Ta có: abc > 0 nên xảy ra 2 trường hợp hoặc là a,b,c đều dương (bài toán được chứng minh) hoặc trong 3 số sẽ có 2 số âm 1 số dương.

Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(\hept{\begin{cases}a< 0\\b< 0\\c>0\end{cases}}\)

Ta đặt: \(\hept{\begin{cases}a=-x\left(x>0\right)\\b=-y\left(y>0\right)\end{cases}}\) thì theo đề bài ta có

\(\hept{\begin{cases}c-x-y>0\\xy-cx-xy>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c>x+y\left(1\right)\\xy>cx+cy\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) ta có thể suy ra được: \(\hept{\begin{cases}cx>x^2+xy\\cy>y^2+xy\end{cases}}\)

\(\Rightarrow cx+cy>x^2+2xy+y^2\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) ta có: \(xy>cx+cy>x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow0>x^2+xy+y^2\) (sai)

Từ đây ta thấy rằng chỉ có trường hợp \(\hept{\begin{cases}a>0\\b>0\\c>0\end{cases}}\) là đúng

Rõ rảng abc > 0 nên a,b,c phải khác 0 
+ Giả sử trong a,b,c có 1 số bé hơn 0,vì vai trò a,b,c như nhau giả sử là a ta có 
a < 0 ,do abc > 0 => bc < 0 do a(b + c) + bc > 0 => a(b + c) > -bc hay a(b + c) > 0 do a < 0 => b + c < 0 
=> a + b + c < 0 mâu thuẫn với 1 giả thiết a + b + c > 0 
+ Giả sử có 2 số nhỏ hơn không,tương tự giả sử là a và b ta có 
a + b + c > 0 => c > 0 => abc < 0 mâu thuẫn 
+ còn a,b,c đều nhỏ hơn 0 thì hiển nhiên a + b + c < 0 mâu thuẫn với a + b + c > 0 
Vậy bất buộc cả 3 a,b,c đều phải đồng thời lớn hơn 0

\(\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a-bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{a-bc}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a-bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)

\(=\left(a-bc\right)\sqrt{\frac{1}{\left(a+b\right)^2\left(c+a\right)^2}}\le\frac{\frac{a-bc}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{\left(c+a\right)^2}}{2}=\frac{a-bc}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{2\left(c+a\right)^2}\)

Tương tự, ta có: \(\frac{b-ca}{b+ca}\le\frac{b-ca}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b-ca}{2\left(a+b\right)^2}\)\(;\)\(\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{c-ab}{2\left(c+a\right)^2}+\frac{c-ab}{2\left(b+c\right)^2}\)

=> \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{a-bc+b-ca}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{b-ca+c-ab}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{a-bc+c-ab}{2\left(c+a\right)^2}\)

\(\frac{\left(a+b\right)\left(1-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(1-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(1-a\right)}{2\left(b+c\right)\left(1-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)\left(1-b\right)}{2\left(c+a\right)\left(1-b\right)}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)

3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c > 0

1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)

                   \(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)

                    \(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)

Mà abc=1

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)     

sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề

Ta chứng minh:\(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a+bc\ge a^2+bc+2a\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)\(\Leftrightarrow a\ge a\left(a+2\sqrt{bc}\right)\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow b+c-2\sqrt{bc}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)

CMTT\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)

          \(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)Vậy ......

(Dấu = xảy ra (=) a=b=c=1/3