Em kiểm tra lại mẫu số của biểu thức c, chắc chắn đề sai

Chia 2 vế cho \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\) BĐT trở thành:

\(\dfrac{1}{a^4\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{1}{b^4\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{1}{c^4\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\)

\(\dfrac{1}{a^4\left(b+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{x^4}{\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{x^4yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=\dfrac{x^3}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

Do đó BĐT trở thành:

\(\dfrac{x^3}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\dfrac{y^3}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}+\dfrac{z^3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Một bài toán quen thuộc

Dấu BĐT bị ngược, sửa đề: \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).

Đặt \(b^2=x\left(x>0\right)\Rightarrow a+x=2ax\).

Khi đó ta cần chứng minh:

\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\)

\(\le\dfrac{1}{2a^2x+2ax^2}+\dfrac{1}{2ax^2+2a^2x}\)

\(=\dfrac{2}{2ax\left(a+x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{ax\left(a+x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{2a^2x^2}\)

Ta thấy: \(a+x\ge2\sqrt{ax}\)

\(\Leftrightarrow2ax\ge2\sqrt{ax}\)

\(\Leftrightarrow ax-\sqrt{ax}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\left(\sqrt{ax}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\ge1\)

\(\Rightarrow ax\ge1\)

Khi đó: \(\dfrac{1}{2a^2x^2}\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)

Hay \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).

(a+b)(a²+ab+b²)+ab

=1(a²+2ab+b²-ab)+ab

=((a+b)²-ab)+ab

=1-ab+ab

=1

\(a^3+b^3+ab\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(=a^2-ab+b^2+ab\)

\(=a^2+b^2\)

\(=a^2+b^2+2ab-2ab\)

\(=\left(a+b\right)^2-2ab\)

\(=1-2ab\)

Ta có: \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1^2\)

\(a^2+2ab+b^2=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+2ab+b^2\ge2ab+2.\sqrt{a^2b^2}=2ab+2ab=4ab\)

\(\Leftrightarrow1\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\ge ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+ab=1-2ab\ge1-2.\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

                                                                                    đpcm

P/S: Nếu bạn chưa học AM-GM thì chứng minh bài toán phụ

\(a^2+b^2\ge2ab\)rồi áp dụng nhé~

Sửa đề:  Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng

\(\frac{1}{ab+b+2}+\frac{1}{bc+c+2}+\frac{1}{ca+a+2}\le\frac{3}{4}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{ab+b+2}=\frac{1}{ab+1+b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) \(=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab\left(1+c\right)}+\frac{1}{b+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{1+c}+\frac{1}{b+1}\right)\)

Tương tự \(\frac{1}{bc+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)

          \(\frac{1}{ca+a+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

Cộng từng vế các bđt trên ta được

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}\)

Vậy bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1