Cho 2 đường tròn (\(O_1\),\(R_1\)) và (\(O_2\),\(R_2\)) tiếp tuyến tại A .Hai điểm B,C di chuyển trên (\(O_1\)) và (\(O_2\)) sao cho góc BAC=\(90^0\).Vẽ AH \(\perp\)BC tại H .Chứng minh AH \(\le\)\(\dfrac{2R_1.R_2}{R_1+R_2}\)
Cho các đường tròn \(\left(O_1;R_1\right)\) và \(\left(O_2;R_2\right)\) tiếp xúc trong tại \(P\) \(\left(R_2>R_1\right)\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(O_1\right)\) cắt \(\left(O_2\right)\) tại \(B\) và \(C\). Chứng minh rằng: \(PA\) là tia phân giác của \(\widehat{BPC}\).
Gọi Q là giao điểm của PA và (O2). Do \(\widehat{O_1AP}=\widehat{O_1PA}=\widehat{O_2PQ}=\widehat{O_2QP}\) nên O1A//O2Q
Mặt khác, \(BC\perp O_1A\) (vì BC là tiếp tuyến tại A của (O1) nên \(BC\perp O_2Q\)
\(\Rightarrow\) Q là điểm chính giữa của cung nhỏ BC
\(\Rightarrow\) PQ là tia phân giác \(\widehat{BPC}\) \(\Rightarrow\) đpcm
Cho các đường tròn \(\left(O_1;R_1\right)\) và \(\left(O_2;R_2\right)\) tiếp xúc trong tại \(P\) \(\left(R_2>R_1\right)\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(O_1\right)\) cắt \(\left(O_2\right)\) tại \(B\) và \(C\). Chứng minh rằng: \(PA\) là tia phân giác của góc \(BPC\).
Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $M$ là điểm tùy ý trên nửa đường tròn ($M$ khác $A$ và $B$). Kẻ \(MH\perp AB\) \(\left(H\in AB\right)\). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa nửa đường tròn $(O)$, vẽ hai nửa đường tròn tâm \(O_1\) đường kính $AH$ và tâm \(O_2\) đường kính $BH$. $MA$ và $MB$ cắt hai nửa đường tròn \(\left(O_1\right)\) và \(\left(O_2\right)\) lần lượt tại $P$ và $Q$.
a) Chứng minh rằng $MH = PQ$.
b) Chứng minh tứ giác $PQBA$ nội tiếp.
c) Chứng minh $PQ$ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn \(\left(O_1\right)\) và \(\left(O_2\right)\).
a) Vì AH, HB, AB đều là các đường kính của các nửa đường tròn (O1) , (O2) và (O) nên tứ giác MPHQ có ba góc P, Q, M vuông. Vì vậy nó là hình chữ nhật.
Từ đó, ta có HM = PQ.
b) Vì MHPQ là hình chữ nhật nên , do đó APQB là tứ giác nội tiếp.
c) Ta có
nên PQ tiếp xúc nửa đường tròn (O1) tại P.
Tương tự , PQ tiếp xúc (O2) tại Q hay PQ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1) và (O2)
a,Xét (O1) có góc APH nội tiếp chắn nửa đtròn
⇒ góc APH = 90
Mà góc APH + góc MPH = 190( 2 góc kề bù)
⇒ góc MPH = 90 (1)
Xét (O2) có góc HQB nội tiếp chắn nửa đtròn
⇒ góc HQB = 90
Mà góc HQB + gócHQM = 190( 2 góc kề bù)
⇒ góc HQM = 90 (2)
Xét (O) có góc AMB nội tiếp chắn nửa đtròn
⇒ góc AMB = 90 hay góc PMQ = 90 (3)
Từ 1 2 3 ⇒ tg PMQH là hcn ( tg có 3 góc vuông)
⇒MH = PQ
b, Xét tg APQB
Có góc APH =90 (cmt)
góc HQB =90(cmt)
⇒ góc APH = góc HQB = 90
Nên tg APQB nt ( tg có 2 định P và Q kề nhau cùng nhìn cạnh AB dưới những góc bằng nhau bằng 90)
c, Ta có: góc O1PA = góc PAO1
= 90 - góc HMP
= 90 - góc MPQ
⇒ góc O1PA +góc MPQ=90
⇒ O1PQ = 90
⇒ PQ⊥ PO1
P tx với nửa đtròn tại p
⇒PQ là tiếp tuyến (O1)
CM tương tự có PQ là tt (O2)
⇒ PQ là tt chung của 2 đtròn O1 và O2
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (O; R), \(\left(O_1;R_1\right)\) , \(\left(O_2;R_2\right)\) theo thứ tự là các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, tam giác ABH và tam giác ACH. C/minh: \(R_1+R_2+R=AH\) .
Cho 2 đường tròn \(\left(O_1;R_1\right)\) và \(\left(O_2;R_2\right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại A,với \(R_1=3;R_2=5\) .Tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc 2 đường tròn lần lượt tại B,C.Tính phần diện tích tam giác ABC nằm ngoài cả 2 hình tròn đã cho
Từ O1 kẻ O1H vuông góc với O2C tại H. Vì R2 > R1 nên ta được O1BCH là hình chữ nhật
và : O2H = R2 - R1 = 2
\(cos\widehat{O_1O_2H}=\frac{O_2H}{O_1O_2}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\Rightarrow\widehat{O_1O_2H}=\alpha\)(Bạn bấm máy tính để tìm giá trị góc này, còn mình đặt là \(\alpha\)cho dễ nhìn)
\(\Rightarrow\widehat{BO_1O_2}=180^o-\alpha\)(BO1 // CO2)
\(AB=\sqrt{2R^2_1-2R_1^2.cos\left(180^o-\alpha\right)}=m\)
\(AC=\sqrt{2R_2^2-2R_2^2.cos\alpha}=n\)
Gọi \(S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích hình quạt \(O_1AB\) và \(O_2AC\) thì ta có :
\(S_1=\frac{\pi.R_1^2.\left(180^o-\alpha\right)}{360^o}\) ; \(S_2=\frac{\pi.R_2^2.\alpha}{360^o}\)
\(S_{\Delta O_1AB}=\frac{1}{2}.R_1^2.sin\left(90^o-\alpha\right)\); \(S_{\Delta O_2AC}=\frac{1}{2}R_2^2.sin\alpha\)
Diện tích hình viên phân giới hạn bởi AB là : \(S'=S_1-S_{\Delta O_1AB}=x\)
Diện tích hình viên phân giới hạn bởi AC là : \(S''=S_2-S_{\Delta O_2AC}=y\)
Diện tích tam giác ABC nằm ngoài cả hai đường tròn đã cho là :
\(S_{ABC}-S'-S''=\frac{1}{2}m.n-x-y\)
Cho hai đường tròn tâm \(O_1,O_2\) tiếp xúc ngoài nhau tại $A$. Trên đường tròn \(\left(O_1\right)\) lấy hai điểm $B$, $C$ phân biệt khác $A$. Các đường thẳng $BA$, $CA$ cắt đường tròn \(\left(O_2\right)\) tại $P$ và $Q$. Chứng minh $PQ$//$BC$.
ta có : Góc CAB = GÓc PQG ( 2 góc đối đỉnh ) . theo tính chất của góc nt , taco : Góc CBA = 1/2 cung AC . Góc APQ = 1/2 sd AQ(1) . theo t/c của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ta có ; GÓC CBA = 1/2 cung AC . APQ + 1/2 sđ AQ ( 2) . TỪ (1) , ( 2 ) => GÓC CBA = APQ . mà 2 góc này ở vị trí soletrong = > BC song song với QP
xAC=QAy(hai góc đối đỉnh)
theo tính chất của 2 góc được tạo bởi tia tiếp tuyến
=> xAC=1/2sđ cung AC,QAy=1/2sđ cungAQ(1)
theo tính chất của góc nội tiếp,ta có
=> ABC=1/2 sđ cung AC,APQ=1/2sđ cung AQ(2)
từ (1),(2)=> ABC=APQ
=> QP//BC
Kẻ tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn (O) và (O')
có góc xAC= góc QAy( 2 góc đối đỉnh )
theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ta có: góc CAx=1/2 sđ cung CA; góc yAQ=1/2 sđ cung AQ
theo tính chất của góc nội tiếp ta có : góc CBA=1/2sđ cung CA; góc APQ=1/2sđ cung AQ
=> góc CBA= góc APQ=> PQ//BC(ĐPCM)
Cho 2 đường tròn \(\left(O_1\right)\) và \(\left(O_2\right)\)cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với 2 đường tròn \(\left(O_1\right)\)và \(\left(O_2\right)\)về phía nửa mặt phẳng bờ \(O_1;O_2\) chưa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E , F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF và cắt \(\left(O_1\right),\left(O_2\right)\)theo thứ tự tại C và D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I .
CMR :
a ) IA vuông góc với CD
b) Tứ giác IEBF nội tiếp
c) Đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF
a) kéo dài O1E,O2F cắt CD ở M và N
b) góc BFI + góc BEI =180
c) gọi AB cắt EF ở K
bằng đồng dạng ta chứng minh được KE=KF=KB.KA(đpcm)
Cho tứ giác \(A_1A_2A_3A_4\) không nội tiếp đường tròn. Gọi \(O_1,r_1\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A_2A_3A_4\). Định nghĩa tương ứng cho \(O_2,O_3,O_4\) và \(r_2,r_3,r_4\). Chứng minh rằng
\(\sum\limits^4_{i=1}\dfrac{1}{O_iA_i^2-r_i^2}=0\)
giải giúp vài bài nha mọi người
thanks nhiều
1. Cho góc xOy và 1 đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh của góc đó tại A và B, qua A kẻ đg thẳng song song OB cắt đg tròn tại C. Gọi K là t/điểm của đoạn OB, đg AK cắt đg tròn tại E.
a) C/m: O,E,C thẳng hàng
b) Đg AB cắt OC tại D. C/m: \(\dfrac{OE}{OC}=\dfrac{BE}{DC}\)
2. Cho \(\left(O_1;R_1\right)\) và \(\left(O_2;R_2\right)\) tiếp xúc ngoài tại D. Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn \(\left(O_1;R_1\right)\) cắt đường tròn \(\left(O_2;R_2\right)\) tại B và C. C/m: A cách đều BD và CD.
3. Cho 2 đường tròn phân biệt bằng nhau \(\left(O_1;R_{ }\right)\) và \(\left(O_2;R_{ }\right)\) cắt nhau tại A và B. Qua A dựng cát tuyến bất kì cắt \(\left(O_1;R_{ }\right)\) tại C, cắt \(\left(O_2;R_{ }\right)\) tại D sao cho A nằm giữa C và D. Qua B vẽ đg thẳng vuông góc CD sao cho đg thẳng này cắt \(\left(O_1\right)\) và \(\left(O_2\right)\) tương ứng tại E và F. C/m: CEDF là hình thoi.
tớ chỉ làm đc 1 bài (bài 3)
mờ kinh luôn!! Thôi thì cứ vừa đọc vừa đoán ^^!