Ta có:

(a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=(a+b-c+b+c-a+c+a-b)/(c+a+b)=0/(c+a+b)=0

=> a+b-c=0 =>a+b=c

b+c-a=0 =>b+c=a

c+a-b=0 =>c+a=b

=>B=(a+b)/a.(c+a)/c.(b+c)/b

      =c/a.b/c.a/b=1

TK!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ta có:

(a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=(a+b-c+b+c-a+c+a-b)/(c+a+b)=0/(c+a+b)=0

=> a+b-c=0 =>a+b=c

b+c-a=0 =>b+c=a

c+a-b=0 =>c+a=b

=>B=(a+b)/a.(c+a)/c.(b+c)/b

      =c/a.b/c.a/b=1

Ta có : \(\left(1+\frac{b}{a}\right)\cdot\left(1+\frac{a}{c}\right)\cdot\left(1+\frac{c}{b}\right)\)=\(\frac{a+b}{a}\cdot\frac{a+c}{c}\cdot\frac{b+c}{b}\)(*)

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}\)

=> \(\frac{a+b}{c}-1=\frac{b+c}{a}-1=\frac{c+a}{b}-1\)

=>\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\)

ADTC dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\)=\(\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}\)=\(\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)=2

Suy ra : \(\frac{a+b}{c}\)=2  => a+b=2c   (1)

\(\frac{b+c}{a}\)=2  => b+c=2a   (2)

\(\frac{c+a}{b}\)=2  => c+a=2b   (3)

Thay (1);(2);(3) vào (*) ta có :

\(\frac{2c}{a}\cdot\frac{2b}{c}\cdot\frac{2a}{b}\)=\(\frac{\left(2\cdot2\cdot2\right)\cdot\left(a\cdot b\cdot c\right)}{a\cdot b\cdot c}\)=8

Áp dụng tính chất hãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow a+b=2c;b+c=2a;a+c=2b\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=1\)

\(\Rightarrow B=2.2.2=8\)

ta có: \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a-a+a+b+b-b-c+c+c}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{c+a+b}=1\)

 nếu a+b+c =0

=> a =0-b-c => a = -(b+c)

b     = 0-a-c => b = -(a+c)

c      = 0-a-b => c = -(a+b)

thay vào \(B=\left(1+\frac{-\left(a+c\right)}{a}\right).\left(1+\frac{-\left(b+c\right)}{c}\right).\left(1+\frac{-\left(a+b\right)}{b}\right)\)

\(B=\left(\frac{a-\left(a+c\right)}{a}\right).\left(\frac{c-\left(b-c\right)}{c}\right).\left(\frac{b-\left(a+b\right)}{b}\right)\)

\(B=\frac{-c}{a}.\frac{-b}{c}.\frac{-a}{b}\)

\(B=-1\)

 nếu a+b+c khác 0

mà \(\frac{a+b+c}{c+a+b}=\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=1\Rightarrow a=b=c\)

=> \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right).\left(1+\frac{a}{c}\right).\left(1+\frac{c}{b}\right)\)

\(B=\left(1+1\right).\left(1+1\right).\left(1+1\right)\)

\(B=2.2.2\)

\(B=8\)

KL: B= -1 hoặc B=8

Chúc bn học tốt !!!!

xét a +b+c = 0 => a+b=-c; c+a=-b;b+c=-a 

 thay vào B ta sẽ đc B = -1

XÉT a+b+c khác 0 

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 

=> a+b=2c;b+c=2a;a+c=2b

=>S = 8

Theo t/c dãy tỉ số=nhau:

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{c+a+b}=1\)

=>a+b-c=c =>a+b=2c  (1)

   b+c-a=a=>b+c=2a    (2)

   c+a-b=b=>c+a=2b     (3)

Thay (1);(2);(3) vào B ta có;

\(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\frac{a+b}{a}.\frac{c+a}{c}.\frac{b+c}{b}=\frac{2c}{a}.\frac{2b}{c}.\frac{2a}{b}=\frac{2c.2b.2a}{a.c.b}=2.2.2=8\)

Vậy B=8

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : a+b-c/c = b+c-a/a = c+a-b/b = a+b-c+b+c-a+c+a-b/a+b+c = a+b+c/a+b+c = 1

Ta có : a+b-c/c=1  => a+b-c=c  => a+b+c=3c   (1)

Ta có : b+c-a/a=1  => b+c-a=a  => a+b+c=3a   (2)

Ta có : c+a-b/b=1  => c+a-b=b  => a+b+c=3b   (3)

Từ (1);(2);(3)   => 3c=3a=3b  => a=b=c  => b/a=1 ; a/c=1 ; c/b=1

=> B= (1+b/a)(1+a/c)(1+c/b)  = (1+1)(1+1)(1+1) = 2.2.2 = 8

=8

8 8 cái địt mẹ mày

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b-c}{c}+2=\frac{b+c-a}{a}+2=\frac{c+a-b}{b}+2\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow\frac{b}{a}=1;\frac{a}{c}=1;\frac{c}{b}=1\)

\(\Rightarrow B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{​​}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))

Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)

Khi đó  \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)

Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)

Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)

Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)

Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)

Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))

Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1

3. Áp dụng cô si ta có 

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\)

Lại có:

 \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

⇒ P ≥ \(2020.1+1=2021\)

Vậy Pmin = 2021 khi và chỉ khi a = b = c =1/3

Ta có:

a+b-c/c = b+c-a/a = c+a-b/b

=>a+b-c/c + 2 = b+c-a/a +2 = c+a-b/b +2

=>a+b-c/c  + 2c/c =b+c-a/a +2a/a = c+a-b/b +2/b

=>a+b+c/c = a+b+c/a =a+b+c/b

* Nếu a+b+c=0 thì a= 0-b-c= -(b+c)

                           b= 0-a-c= -(a+c)

                           c= 0-b-a= -(b+a)

Thay a= -(b+c) ; b=-(a+c);c=-(b+a) vào B ta được

B=(1+b/a)(1+a/c)(1+c/b)=(a/a + b/a )(c/c +a/c)(b/b+c/b)=(a+b)/a * (a+c)/c * (c+b)/b

                                                                                =(-c)/a * (-b)/c * (-a)/b =-1

* Nếu  a+b+c\(\ne\)0 thì a=b=c

Khi đó

B=(1+b/a)(1+a/c)(1+c/b)=(1+1)(1+1)(1+1)=2*2*2=8

Vậy B=-1 hoặc B=8

nhớ k nha bạn

B=1 hoặc B=8 nha!

xin lỗi

Bài làm:

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{c+a+b}\)

\(=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c=c\\b+c-a=a\\c+a-b=b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=3c\\a+b+c=3a\\a+b+c=3b\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)

Thay vào ta tính được:

\(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\)

\(B=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=2^3=8\)

Vậy B = 8

Ta có : \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b-c}{c}+2=\frac{b+c-a}{a}+2=\frac{c+a-b}{b}+2\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}\)

Nếu a + b + c = 0

=> a + b = -c

=> a + c = -b

=> b + c = -a

Khi đó B = \(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\frac{a+b}{a}.\frac{a+c}{c}.\frac{b+c}{b}=\frac{-c}{a}.\frac{-b}{c}.\frac{-a}{b}=-\frac{abc}{abc}=-1\)

Nếu a + b + c \(\ne\)0

=> \(\frac{1}{c}=\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó B = \(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=2.2.2=8\)

Vậy khi a + b + c = 0 => B = -1

khi a + b + c \(\ne\)0 => B = 8

Vì a,b,c dương 

\(\Rightarrow a+b+c>0\)

=> Không tồn tại trường hợp \(a+b+c=0\)