Ta có: Xét với $a^3-a;a∈Z$

$=a(a^2-1)$

$=(a-1)a(a+1)$

Ta thấy với $a∈Z$ thì $(a-1);a;(a+1)$ là 3 số nguyên liên tiếp

$⇒$Có 1 số chia hết cho 3; ít nhất  1 số chia hết cho 2

$⇒\begin{cases}(a-1)a(a+1) \vdots 3\\ (a-1)a(a+1) \vdots 2\end{cases}$

$⇒(a-1)a(a+1) \vdots 6$ (do $(3;2)=1$)

Hay $a^3-a \vdots 6$

Vậy ta có: $a_1^3-a_1 \vdots 6;a_2^3-a_2 \vdots 6;a_100^3-a^100 \vdots 6$

$⇒a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3-(a_1+a_2+a_3+...+a_100) \vdots 6$

$⇒a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3 \equiv a_1+a_2+a_3+...+a_100 (mod 6)$

Mà $a_1+a_2+a_3+...+a_100=2021^{2022}$

$2021 \equiv 5 (mod 6)$

$⇒2021^{2022} \equiv 5^{2022} (mod  6)$

Mà $5 \equiv -1 (mod 6)$

$⇒5^{2022} \equiv 1 (mod 6)$

$⇒2021^{2022} \equiv 1 (mod 6)$

tức $a_1+a_2+a_3+...+a_100 \equiv 1 (mod 6)$

Mà $a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3 \equiv a_1+a_2+a_3+...+a_100 (mod 6)$

$⇒a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3 \equiv 1 (mod 6)$

$⇒S \equiv 1 (mod 6)$

Hay $S-1 \vdots 6$ (đpcm)

Ta có \(\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.....\frac{a_{2017}}{a_{2018}}=\frac{a_1}{a_{2018}}=-5^{2017}\)

Mặt khác \(\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.....\frac{a_{2017}}{a_{2018}}=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{2017}\) (do \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=.....\frac{a_{2017}}{a_{2018}}\))

\(\Rightarrow\frac{a_1}{a_2}=-5\) (1) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=.....\frac{a_{2017}}{a_{2018}}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2017}}{a_2+a_3+...+a_{2018}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(S=\frac{a_1+a_2+...+a_{2017}}{a_2+a_3+...+a_{2018}}=-5\)

Ta có : \(\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}....\frac{a_{2017}}{a_{2018}}=\frac{a_1}{a_{2018}}=-5^{2017}\)

Mặt khác : \(\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}.....\frac{a_{2017}}{a_{2018}}=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{2017}\)

\(\Rightarrow\frac{a_1}{a_2}=-5\) (1)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có :

\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=....=\frac{a_{2017}}{a_{2018}}=\frac{a_1+a_2+a_3+....+a_{2017}}{a_2+a_3+a_4+.....+a_{2018}}\) (2)

Từ (1) và (2)

=> S = -5

Ta có ;

\(\dfrac{a1}{a2}=\dfrac{a2}{a3}=.....=\dfrac{a2017}{a2018}=\dfrac{\left(a1\right)^{2017}}{\left(a2\right)^{2017}}\\ =\dfrac{a1\cdot a2\cdot a3\cdot...\cdot a2017}{a2\cdot a3\cdot a4\cdot...\cdot a2018}=\dfrac{a1}{a2018}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\(\dfrac{a1}{a2}=\dfrac{a2}{a3}=.....=\dfrac{a2017}{a2018}=\dfrac{a1+a2+a3+...+a2017}{a2+a3+a4+...+a2018}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ⇒ Đpcm