\(M=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

\(=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}+\frac{3}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{4xy}}+\frac{3}{4}.\frac{2xy}{xy}\)

\(\Rightarrow M\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y>0\)

\(x-y=1\Leftrightarrow x=1+y\\ P=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-xy\\ P=x^2+xy+y^2-xy\\ P=x^2+y^2=y^2+2y+1+y^2\\ P=2\left(y^2+y+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

x³ - y³ - xy

= (x - y)(x² + xy + y²) - xy

Thay x - y = 1 vào, ta đc:

= x² + xy + y² - xy

= x² + y²

Ta có: x² + y² có giá trị nhỏ nhất khi \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

x+y=1 suy ra x=1-y

xy=(1-y)y=y-y^2

=-y^2+y

=-(y^2-y)

=-(y^2-y+1/4-1/4)

=-(y-1/2)^2+1/4

 suy ra GTNN của biểu thức xy là 1/4 (do-(y-1/2)^2 bé hơn hoặc bằng 0 )

Aps dụng bđt coossi rồi tách ghepos nha bạn

v cả quốc béo

a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3

MInA=3<=>x=y=z=1

b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)

\(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{2.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)

\(=\frac{4}{1}+\frac{1}{2.\frac{1}{4}}=6\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Ta có \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2=1\\\left(x-y\right)^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

\(xy\le\frac{\left(x^2+^2\right)}{2}\)nên \(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}\ge\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{x^2+y^2}=\frac{3}{x^2+y^2}\ge\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\)

\(K_{min}=6\)dấu "=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)