với x, y,z>0

Phương trình ( 2 ) \(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(3x+2y+z\right)=36\)

\(\Leftrightarrow6\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+3\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+2\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)=22\)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có : 

\(6\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge12;3\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge6;2\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow6\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+3\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+2\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\ge22\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

khi đó : ( 1 ) \(\Leftrightarrow x^3+x^2+x-14=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+3x+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 2

ủa t trả lời r mà

Ơn trời đúng là đề sai rùi thảo nào C-S mãi mà nó cứ ko ra :)

Sửa đề: \(\hept{\begin{cases}x+y^2+z^3=14\\\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{6z}\right)\left(3x+2y+z\right)=6\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT=\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{6z}\right)\left(3x+2y+z\right)\ge\left(\frac{1}{\sqrt{2x}}\cdot\sqrt{3x}+\frac{1}{\sqrt{3y}}\cdot\sqrt{2y}+\frac{1}{\sqrt{6z}}\cdot\sqrt{z}\right)^2\)

\(=\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2=\sqrt{6}^2=6=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)

Thay vào pt(1) có:

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow x+x^2+x^3-14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+3x+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\). Do \(x^2+3x+7=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}>0\)

\(\hept{\begin{cases}x=2\\x=y=z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z=2\)

Bài giải của b Thắng chỉ đúng với trường hợp x,y,z không âm thôi vì nếu nó âm thì √x, √y, √z không xác định. Bài toán có cho x,y,z không âm không b.

Ah nhầm. Đề bài có cho x,y,z dương luôn không b

a/ Đơn giản là dùng phép thế:

\(x+2y+x+y+z=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y\)

\(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)=-\left(-2y+y\right)=y\)

Thế vào pt cuối:

\(\left(1-2y\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=26\)

Vậy là xong

b/ Sử dụng hệ số bất định:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{12}-\frac{z}{4}\right)=a\\b\left(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}+\frac{z}{3}\right)=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}\right)x+\left(\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\right)y+\left(\frac{-a}{4}+\frac{b}{3}\right)z=a+b\) (1)

Ta cần a;b sao cho \(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\\\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{5}\)

Chọn \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=5\end{matrix}\right.\) thay vào (1):

\(\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)=7\Rightarrow x+y+z=6\)