1/ Đề là $11y$ hay $11^y$ vậy bạn? Bạn xem lại đề.

2/

$n\vdots 65, n\vdots 125$
$\Rightarrow n=BC(65,125)$

$\Rightarrow n\vdots BCNN(65,125)$

$\Rightarrow n\vdots 1625$

$\Rightarrow n=1625k$ với $k$ tự nhiên.

$n=1625k=5^3.13.k$

Nếu $k=1$ thì $n$ có $(3+1)(1+1)=8$ ước (loại) 

Nếu $k>1$ thì $n$ có ít nhất $(3+1)(1+1)(1+1)=16$ ước nguyên tố.

$n$ có đúng 16 ước nguyên tố khi mà $k$ là 1 số nguyên tố.

Vậy $n=1625p$ với $p$ là số nguyên tố. 

3/

$2xy+x=5y$

$\Rightarrow x(2y+1)=5y$

$\Rightarrow x=\frac{5y}{2y+1}$ ($2y+1\neq 0$ với mọi $y$ tự nhiên)

Để $x$ tự nhiên thì $5y\vdots 2y+1$

$\Rightarrow 10y\vdots 2y+1$

$\Rightarrow 5(2y+1)-5\vdots 2y+1$

$\Rightarrow 5\vdots 2y+1$

$\Rightarrow 2y+1\in \left\{1; 5\right\}$ (do $y$ là số tự nhiên)

$\Rightarrow y\in \left\{0; 2\right\}$

Nếu $y=0$ thì $x=\frac{5y}{2y+1}=0$

Nếu $y=2$ thì $x=\frac{5y}{2y+1}=\frac{10}{5}=2$

a) 135x4y chia hết cho 45

Ta có: 135x4y chia hết cho 5 và 9

Để 135x4y chia hết cho 5 => y = 0 hoặc 5

      135x4y chia hết cho 9 => (1 + 3 + 5 + x + 4 + y) chia hết cho 9 

                                          => (13 + x + y) chia hết cho 9

Nếu: y = 0 thì x = 5 => 135540

        y = 5 thì x = 0 => 135045

\(x^6+\left(y^6+15y^4+75y^2+125\right)+z^3-3x^2y^2z-15x^2z=0\)

\(\Leftrightarrow x^6+\left(y^2+5\right)^3+z^3=3x^2\left(y^2+5\right)z\)

Ta có:

\(x^6+\left(y^2+5\right)^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^6\left(y^2+5\right)^3z^3}=3x^2\left(y^2+5\right)z\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(x^2=y^2+5=z\)

Từ \(x^2=y^2+5\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(3;2\right)\Rightarrow z=9\)

Vậy có đúng 1 bộ số nguyên dương thỏa mãn pt:

\(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;9\right)\)

/ x - 1 /. / y + 1 / = 2

Vì x,y là các số nguyên nên ta xét các trường hợp sau :

TH1 : x = 1 ; y = 2

      =>  / x - 1 /. / y + 1 / = 0 ( Loại )

TH2 : x = 2 ; y = 1

      =>/ x - 1 /. / y + 1 / = 2 ( T/mãn )

TH3 : x = -1 ; y = -2

      =>/ x - 1 /. / y + 1 / = 2 ( T/mãn )

TH4 : x = -2 ; y = -1

      =>/ x - 1 /. / y + 1 / = 0 ( Loại )

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left[\left(2,1\right);\left(-1,-2\right)\right]\)