Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.

Vậy m = -3.

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}.

Ta có:

Xét g(x) = x 2  – 2mx – 2 m 2  + 3

∆ ’g =  m 2  + 2 m 2  – 3 = 3( m 2  – 1) ;

∆ ’g  ≤ 0 khi – 1  ≤  m  ≤  1.

Khi – 1  ≤  m  ≤  1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên

tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x  ≠  1) hoặc y = x – 3 (với x  ≠  - 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1  ≤  m  ≤  1.

TXĐ: D = R

y’ = 3 x 2  + 4mx + m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3 x 2  + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ Δ’ = 4 m 2  -3m > 0 ⇔ m(4m – 3) > 0

⇔ 

Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc m > 3/4.

TXĐ: D = R

y’ = 3 x 2  + 4mx + m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3 x 2  + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆ ’ = 4 m 2  -3m > 0 ⇔ m(4m – 3) > 0

⇔ 

Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc m > 3/4.

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}.

Ta có:

Xét g(x) =  x 2  – 2mx – 2 m 2  + 3

Δ’g =  m 2  + 2 m 2  – 3 = 3( m 2  – 1) ;

Δ’g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên

tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ - 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = m x 2  + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

Δ' = m 2  - 2m(m - 1) = - m 2  + 2m ≤ 0

⇔ 

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = m x 2  + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

∆ ' =  m 2  - 2m(m - 1) = - m 2  + 2m ≤ 0

⇔ 

Tập xác định .

Tính .

Để hàm số có điểm cực trị khi 

.

Chọn B

Đáp án: D.

y' = 3 x 2  - 6(m - 1)x - 3(m + 1)

y' = 0 ⇔  x 2  - 2(m - 1)x - m - 1 = 0

Δ' = ( m - 1 ) 2  + m + 1 = m 2  - m + 2 ≥ 0

Tam thức m 2  - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì δ = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0 cho nên phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị m ∈ R.

Đáp án: D.

y' = 3 x 2 - 6(m - 1)x - 3(m + 1)

y' = 0 ⇔  x 2  - 2(m - 1)x - m - 1 = 0

∆ ' = m - 1 2  + m + 1 =  m 2 - m + 2 ≥ 0

Tam thức  m 2  - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì δ = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0 cho nên phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị m ∈ R.