Từ \(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

ĐÚng với a+b+c=0

-Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}=\frac{a+\left(-c\right)}{b+\left(-d\right)}\)

Vậy \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)thì\(\frac{a+\left(-c\right)}{b+\left(-d\right)}\)

     \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Ap dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

        \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}=\frac{a+\left(-c\right)}{b+\left(-d\right)}\) (đpcm)

Sorry, minh chep sai de. Day la de moi:

Chung minh rang a/b = c/d thi a/b = a + (hoac tru) c / b +(hoac tru) d

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\) (1)

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)

=> (a+b)(c-d) = (c+d)(a-b) \(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\) (đpcm)

Đặt a/b=c/d=k. Suy ra a=bk; c=dk

Ta có: a+b/a-b=bk+b/bk-b=b(k+1)/b(k-1)=k+1/k-1     (1)

=> c+d/c-d=dk+d/dk-d=d(k+1)/d(k-1)=k+1/k-1         (2)

Từ (1);(2) ta được a+b/a-b=c+d/c+d.       (đpcm)

Chúc bạn học tốt!

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\)  (1)

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(a+b\right)\left(c-d\right)=\left(c+d\right)\left(a-b\right)\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)   ( đpcm )

Xét tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\).Gọi giá trị chung của các tỉ số đó là k, ta có:

\(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)=k                                                           (1)

Suy ra a=k.b, c=k.d

Ta có:

\(\frac{a+c}{b+d}\)=\(\frac{k.b+k.d}{b+d}\)=\(\frac{k.\left(b+d\right)}{b+d}\)=k       (2)

\(\frac{a-c}{b-d}\)=\(\frac{k.b-k.d}{b-d}\)=\(\frac{k.\left(b-d\right)}{b-d}\)=k       (3)

Từ (1),(2) và (3), suy ra

\(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)=\(\frac{a+c}{b+d}\)=\(\frac{a-c}{b-d}\)(b#d và b#-d)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)

( Chia tử cho tử, mẫu cho mẫu )

Đó là điều phải chứng minh.

Nhớ k cho mình nhé! Thank you!!!

Bài này dễ mà các bạn

Ta biến đổi 1 tí nhé

\(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\right)\)

Tới đây dễ dàng áp dụng BĐT \(\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}\le\frac{3}{4}.\frac{1}{a}+\frac{3}{4}.\frac{1}{b}\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{b+c}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{b}+\frac{1}{2}.\frac{1}{c}\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{a}+\frac{1}{4}.\frac{1}{c}\left(3\right)\)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) suy ra 

\(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{a}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{c}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{a}+\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{b}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow Dpcm\)