a.

\(3\sqrt{-x^2+x+6}\ge2\left(1-2x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-x^2+x+6\ge0\\1-2x< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1-2x\ge0\\9\left(-x^2+x+6\right)\ge4\left(1-2x\right)^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-2\le x\le3\\x>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\25\left(x^2-x-2\right)\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}< x\le3\\\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\-1\le x\le2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1\le x\le3\)

b.

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+8x+5}-4\sqrt{x}+\sqrt{2x^2-4x+5}-2\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2+8x+5-16x}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{2x^2-4x+5-4x}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2-8x+5}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{2x^2-8x+5}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-8x+5\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{6}}{2}\)

Câu b còn 1 cách giải nữa:

Với \(x=0\) không phải nghiệm

Với \(x>0\) , chia 2 vế cho \(\sqrt{x}\) ta được:

\(\sqrt{2x+8+\dfrac{5}{x}}+\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=6\)

Đặt \(\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=t>0\Leftrightarrow2x+8+\dfrac{5}{x}=t^2+12\)

Phương trình trở thành:

\(\sqrt{t^2+12}+t=6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{t^2+12}=6-t\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-t\ge0\\t^2+12=\left(6-t\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\le6\\12t=24\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=2\)

\(\Leftrightarrow2x-4+\dfrac{5}{x}=4\)

\(\Rightarrow2x^2-8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

Do \(x^6-x^3+x^2-x+1=\left(x^3-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}>0\) ; \(\forall x\) nên BPT tương đương:

\(\sqrt{13}-\sqrt{2x^2-2x+5}-\sqrt{2x^2-4x+4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}\le\sqrt{26}\) (1)

Ta có:

\(VT=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(2-2x\right)^2+2^2}\ge\sqrt{\left(2x-1+2-2x\right)^2+\left(3+2\right)^2}=\sqrt{26}\) (2)

\(\Rightarrow\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}=\sqrt{26}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2\left(2x-1\right)=3\left(2-2x\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{5}\)

Vậy BPT có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{4}{5}\)

Đặt: \(\sqrt{2x+1}=a,\sqrt{3-2x}=b\)

Từ đó: \(\sqrt{4x-4x^2+3}=ab\)và \(4=a^2+b^2\)

Từ đó biến đổi và giải phương trình. Đây là một cách. (T chưa giải ra :V)

Hoặc là không cần đặt ẩn phụ, biến đổi luôn:

VT=\(\frac{\left(2x-1\right)^2.\left(2x+1\right)\left(3-2x\right)}{\left(2x+1\right)+\left(3-2x\right)}\)

VP=\(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}+2\sqrt{2x+1}.\sqrt{3-2x}+\left(\sqrt{2x+1}\right)^2+\left(\sqrt{3-2x}\right)^2\)

=\(\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+2}\right)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+2}+1\right)\)

Đến đây có vẻ đơn giản r :>

\(\frac{\left(2x-1\right)^2\left(4x^2-4x+3\right)}{4}=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}+2\sqrt{4x-4x^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\frac{\left(2x-1\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow8\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}\right)=4\left(2x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}\right)=\left[\left(2x+1\right)-\left(3-2x\right)\right]^2\) (**)

đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2a+1}=a\ge0\\\sqrt{3-2x}=b\ge0\end{cases}}\)thì phương trình (**) trở thành

\(\hept{\begin{cases}8\left(x+b\right)=\left(a^2-b^2\right)^2\\a^2+b^2=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8\left(a+b\right)=\left(a^2+b^2\right)^2-4a^2b^2\left(1\right)\\a^2+b^2=4\left(2\right)\end{cases}}\)

từ (1) \(\Rightarrow8\left(a+b\right)=16-4a^2b^2\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=4-a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2+2ab\right)=16-8a^2b^2+a^4b^4\)(***)

đặt ab=t \(\left(0\le t\le2\right)\)thì phương trình (***) trở thành

\(16+8t=16-8t^2+t^4\Leftrightarrow t\left(t+2\right)\left(t^2-2t-4\right)=0\)

\(\begin{matrix}t=0\left(tm\right)\\t=-2\left(loại\right)\\t=1+\sqrt{5}\left(loại\right)\\t=1-\sqrt{5}\left(loại\right)\end{matrix}\)vậy t=0 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=2\\\sqrt{2x+1}\cdot\sqrt{3-2x}=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\x=\frac{3}{2}\end{cases}}}\)

Câu Hỏi Tương Tự nha bạn !

\(BPT\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{x^2-2x+5}\right)\left(x+1\right)+\frac{2x\left(3x^2+2x-1\right)}{2\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{x^2-2x+5}\right)\left(x+1\right)+\frac{2x\left(x+1\right)\left(3x-1\right)}{2\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\text{[}2+\sqrt{x^2-2x+5}+\frac{2x\left(3x-1\right)}{2\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}}\text{]}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(4\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2-2x+5}+2\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2x+5\right)}+7x^2-4x+5\right)\)\(\le0\Leftrightarrow x+1\le0\Leftrightarrow x\le-1\)