Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
dương thùy
1 tháng 4 2017 lúc 19:07
Phương pháp đổi biến số

Ta biết rằng nếu ∫f(x)dx=F(x)+C thì ∫f(t)dt=F(t)+C.

Từ đó ta có phương pháp để tìm nguyên hàm của những hàm số dạng g(x)=f(u(x))u′(x) bằng cách đặt t=u(x).

Nội dung phương pháp đổi biến số tính: ∫g(x)dx=∫f(u(x))u′(x)dx

Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx (lấy đạo hàm hai vế)

⇒∫g(x)dx=∫f(t)dt=F(t)+C

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin3xcosx

Phân tích: Ta thấy f(x)=sin3xcosx=(sinx)3(sinx)′ nên ta có thể đặt t=sinx.

Giải

t=sinx⇒dt=cosxdx

⇒∫sin3xcosxdx=∫t3dt=t44+C=sin4x4+C (C∈R)

Ví dụ 2: Tính ∫xx2+1−−−−−√dx

Phân tích: xx2+1−−−−−√=(x2+1)12122x=12(x2+1)12(x2+1)′

Giải

Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx

∫xx2+1−−−−−√dx=∫(x2+1)12122xdx=12∫t12dt=t323+C

=(x2+1)323+C=(x2+1)x2+1√3+C (C∈R)

Lưu ý: Ta có thể giải ví dụ 2 như sau:

t=x2+1−−−−−√⇒t2=x2+1⇒2tdt=2xdx⇒tdt=xdx

⇒∫xx2+1−−−−−√dx=∫x2+1−−−−−√.xdx=∫t.tdt=∫t2dt

=t33+C=(x2+1√)33+C=(x2+1)x2+1√3+C

Nguyên hàm của một số hàm số hợp đơn giản

1) ∫kdx=kx+C

2) ∫(ax+b)αdx=1a(ax+b)α+1α+1+C(α≠1)

3) ∫dxax+b=1aln|ax+b|+C(x≠0)

4) ∫eax+bdx=1aeax+b+C

5) ∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C

6) ∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+C

7) ∫1cos2(ax+b)dx=1atan(ax+b)+C

8) ∫1sin2(ax+b)dx=−1acot(ax+b)+C . Định nghĩa

VÍ DỤ 1. Cho {F(x)=x3f(x)=3x2

VÍ DỤ 2. Cho {F(x)=cosxf(x)=−sinx

Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có F’(x) = f(x). Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Vì với là một hằng số bất kỳ, ta có (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x) nên nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x). Ta gọi F(x) + C, ( C là hằng số) là Họ nguyên hàm của f(x).

Ký hiệu: ∫f(x)dx=F(x)+C

VÍ DỤ:
∫x4dx=15x5+C;∫cosxdx=sinx+C

Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Hai Binh
27 tháng 4 2017 lúc 17:57

Hỏi đáp Toán

Hỏi đáp Toán

Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Cao Minh Tâm
4 tháng 12 2018 lúc 15:30

• Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] , F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x)

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

• Phương pháp tính tích phân

a) Đổi biến số:

Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α;β] sao cho φ(α) = a; φ(β) = βvà a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Khi đó:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

b) Tích phân từng phần

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
dương thùy
1 tháng 4 2017 lúc 19:04
Loại 1: Đặt t=u(x) Loại 2: Đặt x=u(t) Phương pháp đổi biến loại 1

Bài toán: Tính tích phân dạng: I=∫abf(u(x))(u(x))′dx

Phương pháp:

Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx

Đổi cận:

doi can

⇒I=∫u(a)u(b)f(t)dt

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

a) I=∫01ex2+1xdx

Phân tích: Ta thấy có thể viết lại: I=∫01ex2+1xdx=∫01ex2+112.2xdx=12∫01ex2+1.2xdx

Trong đó 2x là đạo hàm của x2+1 nên ta có thể đặt t=x2+1.

Giải

Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx

Đổi cận:

doi can vd1

⇒I=12∫12etdt=12et∣∣∣21=12(e2−e)

b) J=∫01x3x2+1−−−−−√dx

Đặt t=x2+1−−−−−√⇒t2=x2+1⇒x2=t2−1⇒xdx=tdt

Đổi cận:

doi can vd2

⇒J=∫01x2.x2+1−−−−−√.xdx=∫12√(t2−1).t.tdt=∫12√(t4−t2)dt

=(t55−t33)∣∣∣2–√1=22√+215

Một số bài tập áp dụng

1) J1 = ∫12xex2dx 2) J2 = ∫1e1+lnx√xdx

3) J3 = ∫01x3(x4−1)5dx 4) J4 = ∫024−x2−−−−−√.xdx

5) J5 = ∫0π/2cosx(1+sinx)4dx

Phương pháp đổi biến loại 2

Trong một số trường hợp đặt biệt, ta sẽ đổi biến bằng cách đặt x=u(t) để chuyển từ biến x về biến t. Một số trường hợp mà ta thường gặp có thể áp dụng phương pháp này:

1) Hàm số có chứa a2−x2−−−−−−√: đặt x=|a|sint với (−π2≤t≤π2) hoặc x=|a|cost với (0≤t≤π).

2) Hàm số có chứa x2−a2−−−−−−√: đặt x=|a|sint với (−π2≤t≤π2;t≠0) hoặc x=|a|cost với (0≤t≤π;t≠π2).

3) Hàm số có chứa a2+x2: đặt x=|a|tant với (−π2≤t≤π2) hoặc x=|a|cott với (0≤t≤π).

Ví dụ 3: Tình các tích phân sau:

a) I=∫024−x2−−−−−√dx

Giải

Đặt x=2sint (−π2≤t≤π2)

⇒dx=2costdt

Đổi cận:

doi can vd3

⇒I=∫0π24−4sin2t−−−−−−−−√.2costdt=∫0π24(1−sin2t)−−−−−−−−−−√.2costdt

=∫0π24cos2t−−−−−√.2costdt=∫0π24cos2tdt=∫0π22(1+cos2t)dt

=2(t+12sin2t)∣∣∣π20=π

b) J=∫01x1+x2dx

Giải

Đặt x=tant⇒dx=1cos2tdt (−π2≤t≤π2)

Đổi cận:

doi can vd4

⇒J=∫0π4tant1+tan2t(1+tan2t)dt=∫0π4tantdt=∫0π4sintcostdt

=−∫0π4(cost)′costdt=−ln(cost)∣∣∣π40=−ln2√2

Một số bài tập áp dụng:

1) ∫01dx1+x2 2) ∫02√2−x2−−−−−√dx 3) ∫2√2dxxx2−1√

4) ∫123√2dx1−x2√ 5) ∫13√9+3x2√dxx2

Nguyễn Bảo Trung
1 tháng 4 2017 lúc 19:04

Định nghĩa : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Khi đó hiệu F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).

Các phương pháp giải tích phân :

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

phương pháp tích phân từng phần

Cách đặt: Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ (hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ)

Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Cao Minh Tâm
22 tháng 12 2017 lúc 9:26

+ Phương pháp nguyên hàm từng phần:

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) - ∫v(x).u’(x)dx

Hay viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdv.

Giải bài 1 trang 126 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

ha thu
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Cao Minh Tâm
1 tháng 3 2017 lúc 17:47

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Cao Minh Tâm
1 tháng 7 2018 lúc 7:37

a. Định nghĩa 1 : (Hàm số sin): Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với số thực sinx.

sin: R -> R

x -> y = sinx.

Hàm số y = sinx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1;1].

b.Định nghĩa 2 : (Hàm số cosin): Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với số thực cosx.

cos : R -> R

x -> y = cosx.

Hàm số y = cosx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1;1]

c. Định nghĩa 3: (Hàm số tang): Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức

Giải bài 1 trang 178 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

tan : D -> R

x -> y = tanx.

Hàm số y = tanx có tập xác định: Giải bài 1 trang 178 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Tập giá trị của hàm số y = tanx là R.

d. Định nghĩa 4 : (Hàm số cotang): là hàm số được xác định bởi công thức

Giải bài 1 trang 178 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

cot : D -> R

x -> y = cotx.

Hàm số y = cotx có tập xác định D = {x ∈ R \ x ≠ kπ, k ∈ Z}. Tập giá trị của hàm số y = cotx là tập R.

Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Cao Minh Tâm
23 tháng 5 2019 lúc 14:57

 Hàm số cho bằng bảng

Ví dụ:

x 0 1 2 3 4
y 1 3 5 7 9

- Hàm số cho bằng công thức:

Ví dụ:

Giải bài tập Toán 11 | Giải Toán lớp 11