Tương tự bài 4. kéo dài AC và BD cắt nhau tại E. Từ đó chứng minh được I thuộc đường trung bình của DABE.

+ Từ I kẻ đường thẳng //AC cắt AB tại K; Từ I kẻ đường thẳng //BD cắt AB tại H

+ Ta sẽ c/m được tam giác IKH là tam giác đều

+ Ta cũng sẽ c/m được AK=MK; MH=BH 

=> MK=AM/2 và MH=BM/2 => KH=MK+MH=(AM+BM)/2=AB/2

=> tam giác IKH là tam giác đều có độ dài các cạnh không thay đổi => đường cao hạ từ I xuống AB cắt AB tại F và IF không thay đổi

=> I chạy trên đường thẳng //AB có độ dài \(IF=\sqrt{IA^2-AF^2}=\sqrt{\left(\frac{AB}{2}\right)^2-\left(\frac{AB}{4}\right)^2}=\sqrt{3}.\frac{AB}{4}\)

Gọi C là giao điểm của AD và BE.

Tam giác ABC có:

       ∠ A = 60 0  (vì ΔADM đều)

        ∠ B =  60 0  ( vì ΔBEM đều)

Nên  ∠ C = 180 0  -  ∠ A -  ∠ B =  60 0

Suy ra: ∆ ABC đều hay AB = AC = BC

Suy ra điểm C cố định.

Lại có:  ∠ A =  ∠ (EMB ) =  60 0

ME // AC ( vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Hay ME // CD.

Do  ∠ DMA =  ∠ BEM =  60 0  ( hai tam giác AMD và BME là tam giác đều )

Suy ra: MD // BC ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau ).

hay MD // EC

suy ra tứ giác CDME là hình bình hành.

I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của CM

Kẻ CH ⊥ AB,IK ⊥ AB⇒IK // CH

Trong  ∆ CHM,ta có:CI = IM và IK // CH

Suy ra IK là đường trung bình của ΔCHM⇒IK = 1/2 CH

Vì C cố định nên CH không đổi ⇒ IK = 1/2 CH không đổi nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng 1/2 CH

Khi M trùng với A thì I trùng với trung điểm P của AC.

Khi M trùng với B thì I trùng với trung điểm Q của BC.

Vậy khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì I chuyển động trên đoạn PQ ( P là trung điểm AC, Q là trung điểm BC).