Bài 2:

a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)

\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)

b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:

\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)

Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:

\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)

\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)

Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng

Tournament of the Towns, 1993 :3

Cho x là no pt, by C-S:

\(a^2+b^2\ge\frac{\left(x^4+2x^2+1\right)^2}{x^2+x^6}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^4\ge0\) 

từ đây suy ra nghiệm :3

à sorry mk gửi nhầm câu hỏi ==" :v

Câu hỏi của Phạm Hồ Thanh Quang - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Xét \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\)

\(\Leftrightarrow1=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)+\left(1-\dfrac{1}{y}\right)+\left(1-\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\Leftrightarrow1=\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{y-1}{y}+\dfrac{z-1}{z}\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki có:

\(x+y+z=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{y-1}{y}+\dfrac{z-1}{1}\right)\ge\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\right)^2\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+z}\ge\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1,5Tự đăng câu hỏi xong tự trả lời  (T-T)    

Trả lời

Đề có thiếu dữ liệu k đây 

nhìn trả hiểu mồ tệt j cả 

mong viết đầy đủ đề cho ạ 

đề sai 

sửa lai đi

chào

oh. đễ mà
nhưng em học lop 8 
để khi nào em lên lớp 9 em giải cho :D

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}=\frac{z-\left(x+y+z\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}=\frac{-\left(x+y\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\)(x + y)z(x + y + z) + (x + y)xy = 0

\(\Leftrightarrow\)(x + y) [z(x + y + z) + xy] = 0

\(\Leftrightarrow\)(x + y)[z(x + z) + y(x + z)] = 0

\(\Leftrightarrow\) (x + y)(y + z)(z + x) = 0

Trường hợp 1: x + y = 0\(\Leftrightarrow\)x = -y\(\Leftrightarrow\)x²⁰¹⁵ = -y²⁰¹⁵\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x^{2015}}=-\frac{1}{y^{2015}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}=0\)

và x²⁰¹⁵  + y²⁰¹⁵ = 0. Do đó \(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\)

Trường hợp 2: y + z  = 0 làm tương tự

Trường hợp 3: x + z  = 0 làm tương tự

Vậy bài toán được chứng minh.

Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

tôi mong các bn đừng làm như vậy nha

Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web