B1: Chứng minh AM, BN, CP chia tam giác ABC thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
B2: 
=> S( AOB) =2/3 S(ANB) => OB = 2/3 BN
S(AOC) =2/3 S(ACP) => OC =2/3 CP
S(AOB) = 2/3 S(AMB) => OA = 2/3 AM
B3: kết luận

Bài này lên cấp 2 sẽ gọi là trọng tâm, giao điểm 3 đường trung tuyến.

Ta có: M trung điểm BC, N trung điểm AC. 2 đoạn này cắt nhau tại H.

CH cắt AB tại P.

Gọi D đối xứng H qua M, E đối xứng H qua N.

Chứng minh AECH, BDCH là các hình bình hành.

Chứng minhAEDB là hình bình hành => H t điểm EB  EP//AE

=> P trung điểm AB

Câu sau dễ rồi.

Ta có S GMB = S GMC(vì MB=MC,chung chiều cao hạ từ G) (1)

S GNC=S GNA(vì NA=NC,chung chiều cao hạ từ G) (2)

Lại có:S BCN=1/2 S ABC (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ B và đáy CN=1/2 CA)

S ACM=1/2 S ABC (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ A và đáy CM=1/2 CB)

=>S BCN=S ACM

Mà S ACM và S BCN cùng có chung S GCM+S GCN

=>S GMB=S GNA (3)

Từ (1),(2),(3) ta có:

S GMC=S GNC=S GNA hay S GMC=1/3(S GMC+S GNC+S GNA)

=>S GMC=1/3 S CMA,hay GM=1/3AM (2 tam giác CMA và CMG có chung chiều cao hạ từ C)

Do đó,BN cắt AM tại G ở 1/3 của AM kể từ đáy.

(Tương tự ta chứng minh được CP cũng cắt AM tại G ở 1/3 của AM kể từ đáy)

Vậy ba đoạn AM,BN,CP cắt nhau ở một điểm G nằm ở 1/3 của mỗi đoạn kể từ đáy.

a) Vì AB = 3 x AM, AC = 3 x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC.

Từ đó suy ra : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C

dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B)

Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC và tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M bằng chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC. Do đó BMNC là hình thang.

Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN).

Hơn nữa từ AC = 3 x AN, nên NC = 2 x AN, do đó dt (NBC) = 2 x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy ra dt (NBC) = 3/2 x 2 x dt (MBN) = 3 x dt (MBN).

Mà tam giác NBC và tam giác MBN có chiều cao bằng nhau (cùng là chiều cao của hình thang BMNC). Vì vậy đáy BC = 3 x MN.

b) Gọi BN cắt CM tại O. Ta sẽ chứng tỏ AI cũng cắt BN tại O. Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC tại K, ta sẽ chứng tỏ K là điểm chính giữa của BC (hay K trùng với I).

Theo phần a) ta đã có dt (NBC) = 2 x dt (ABN). Mà tam giác NBC và tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp 2 lần chiều cao từ A xuống đáy BN. Nhưng đó là chiều cao tương ứng của hai tam giác BCO và BAO có chung đáy BO, vì vậy dt (BCO) = 2 x dt (BAO)

Tương tự ta cũng có dt (BCO) = 2 x dt (CAO).

Do đó dt (BAO) = dt (CAO). Hai tam giác BAO và CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B bằng chiều cao từ C xuống đáy AO. Đó cũng là chiều cao tương ứng của hai tam giác BOK và COK có chung đáy OK, vì vậy dt (BOK) = dt (COK). Mà hai tam giác BOK và tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K là điểm chính giữa của cạnh BC. Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cùng cắt nhau tại điểm O.