Ta có: \(a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)⋮2\)(tích 2 số nguyên liên tiếp) 

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)⋮2\)

Mà \(a^2+b^2=c^2+d^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b+c+d\right)⋮2\)

\(\Rightarrow a+b+c+d⋮2\)

Mà a, b, c, d nguyên dương => a+ b+ c+ d > 2 

=> a+ b+ c+ d là hợp số

Bổ sung \(a;b;c;d\in Z^+\)

Xét \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)\)

\(=\left(a^2-a\right)+\left(b^2-b\right)+\left(c^2-c\right)+\left(d^2-d\right)\)

\(=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)

Lạp luận tích 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)⋮2\)                           \(\left(1\right)\)

Lại có: \(a^2+b^2=c^2+d^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+a^2\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2⋮2\)                             \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra

 \(a+b+c+d⋮2\)

Mà \(a+b+c+d>2\)                          \(Do\)\(a;b;c;d\in Z^+\)

\(\Rightarrow a+b+c+d\)là hợp số

Đề phải cho a,b,c,d thuộc N sao chứ bạn ơi

Có : a^2+b^2+c^2+d^2

=> 2.(a^2+b^2) = a^2+b^2+c^2+d^2 

=> a^2+b^2+c^2+d^2 chia hết cho 2 

Xét :a^2-a = a.(a-1)

Ta thấy a-1;a là 2 số tự nhiên liên tiếp => có 1 số chia hết cho 2

=> (a-1).a chia hết cho 2    hay a^2-a chia hết cho 2

Tương tự : b^2-b ; c^2-c ; d^2-d đều chia hết cho 2

=> (a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d) chia hết cho 2

Mà a^2+b^2+c^2+d^2 chia hết cho 2 => a+b+c+d chia hết cho 2

Mặt khác : a,b,c,d thuộc N sao nên a+b+c+d > 2

=> a+b+c+d là hợp số

Tk mk nha

a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

đặt a+c vào 2bd ta có (a+c)d = c(b+d) <=> ad+ cd = bc + cd <=> ad = bc <=> a/ b = c/ d

(thay a+c vào 2bd vì a+c = 2b )

d(a+c)=2bd=c(b+d)

Suy ra ad+dc=cb+cd

ad=cb

Ta suy ra  được a/b=c/d

từ a+c= 2b 

=> d(a+c)=2bd

mà 2bd=c(b+d)

=> d(a+c) =c(b+d)

<=> ad +dc = cb +dc

<=>ad =cb 

=> a/b =c/d (đpcm)

Giải:

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

\(\Rightarrow a=b.k,c=d.k\)

a) Ta có: \(\frac{a}{b-a}=\frac{b.k}{b-b.k}=\frac{b.k}{b\left(1-k\right)}=\frac{k}{1-k}\) (1)

\(\frac{c}{d-c}=\frac{d.k}{d-d.k}=\frac{d.k}{d\left(1-k\right)}=\frac{k}{1-k}\) (2) 

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{b-a}=\frac{c}{d-c}\)

Vậy \(\frac{a}{b-a}=\frac{c}{d-c}\)

b) Ta có: \(\frac{9a-7b}{9a+7b}=\frac{9.b.k-7.b}{9.b.k+7.b}=\frac{b.\left(9.k-7\right)}{b\left(9.k+7\right)}=\frac{9.k-7}{9.k+7}\) (1)

\(\frac{9c-7d}{9c+7d}=\frac{9.d.k-7.d}{9.d.k+7.d}=\frac{d.\left(9.k-7\right)}{d.\left(9.k+7\right)}=\frac{9.k-7}{9.k+7}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{9a-7b}{9a+7b}=\frac{9c-7d}{9c+7d}\)

Vậy \(\frac{9a-7b}{9a+7b}=\frac{9c-7d}{9c+7d}\)

c) Ta có: \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3=\left(\frac{b.k+b}{d.k+d}\right)^3=\left[\frac{b.\left(k+1\right)}{d.\left(k+1\right)}\right]^3=\left(\frac{b}{d}\right)^3\) (1)

\(\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}=\frac{\left(b.k\right)^3+b^3}{\left(d.k\right)^3+d^3}=\frac{b^3.k^3+b^3}{d^3.k^3+d^3}=\frac{b^3.\left(k^3+1\right)}{d^3.\left(k^3+1\right)}=\frac{b^3}{d^3}=\left(\frac{b}{d}\right)^3\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3=\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\)

Vậy \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3=\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Khi đó : \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{b^2.k^2+b^2}{d^2.k^2+d^2}=\frac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\left(1\right)\)

\(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{\left(bk\right)^2-b^2}{\left(dk\right)^2-d^2}=\frac{b^2.k^2-b^2}{d^2.k^2-d^2}=\frac{b^2\left(k^2-1\right)}{d^2.\left(k^2-1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{a^2-b^2}{c^2+d^2}\left(\text{đpcm}\right)\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Ta có

\(VT=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{b^2\cdot k^2+b^2}{d^2\cdot k^2+d^2}=\frac{b^2\cdot\left(k^2+1\right)}{d^2\cdot\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)

\(VT=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{\left(bk\right)^2-b^2}{\left(dk\right)^2-d^2}=\frac{b^2\cdot k^2-b^2}{d^2\cdot k^2-d^2}=\frac{b^2\cdot\left(k^2-1\right)}{d^2\cdot\left(k^2-1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)

\(\Rightarrow VT=VP\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\left(đpcm\right)\)

cậu ưi những người là fan lai ko sao cả ARMY LAI BLINK ko sao nhưng ARMY BLINK chúng mk ko ship BANGPINK nhák

\(\frac{a}{b}