1) Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh \(1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\). Do đó, để \(1^2+2^2+...+n^2⋮̸5\) thì \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮̸5\). Điều này có nghĩa là \(n\equiv3\left(mod5\right)\) hoặc \(n\equiv1\left(mod5\right)\). Tóm lại, để \(1^2+2^2+...+n^2⋮̸5\) thì \(n\equiv3\left(mod5\right)\) hoặc \(n\equiv1\left(mod5\right)\).

2) Ta so sánh \(a^3-7a^2+4a-14\) với \(a^3+3\). Ta thấy \(\left(a^3-7a^2+4a-14\right)-\left(a^3+3\right)\) \(=-7a^2+4a-17=D\). dễ thấy với mọi \(a\inℤ\) thì \(D< 0\) (thực ra với mọi \(a\inℝ\) thì vẫn có \(D< 0\)) nên \(a^3-7a^2+4a-14< a^3+3\), vì vậy \(a^3-7a^2+4a-14⋮̸a^3+3\). Vậy, không tồn tại \(a\inℤ\) thỏa mãn ycbt.

Mình làm 2 bài này trước nhé.

P = 1² + 2² + 3² +...+n² không chia hết cho 5

P = 1.(2-1) + 2.(3-1) + 3.(4-1)+...+n(n +1 - 1)

P = 1.2-1+ 2.3 - 2+ 3.4 - 3+...+ n(n+1) - n

P = 1.2 + 2.3 + 3.4+ ...+n(n+1) - (1+2+3+...+n)

P = n(n+1)(n+2):3 - (n+1)n:2

P = n(n+1){ \(\dfrac{n+2}{3}\) - \(\dfrac{1}{2}\)}

P = n(n+1)(\(\dfrac{2n+1}{6}\)) không chia hết cho 5 

⇒ n(n+1)(2n+1) không chia hết cho 5

⇒ n không chia hết cho 5

⇒ n = 5k + 1; n = 5k + 2; n = 5k + 3; n = 5k + 4

th1: n = 5k + 1 ⇒ n + 1 = 5k + 2 không chia hết cho 5  ; 2n + 1 = 10n + 3 không chia hết cho 5 vậy n = 5k + 1 (thỏa mãn)

th2: nếu n = 5k + 2 ⇒ n + 1 = 5k + 3 không chia hết cho 5;    2n + 1  = 10k + 5 ⋮ 5 (loại)

th3: nếu n = 5k + 3 ⇒  n + 1 = 5k +4 không chia hết cho 5;   2n + 1 = 10k + 7 không chia hết cho 5 (thỏa mãn)

th4 nếu n = 5k + 4 ⇒ n + 1 = 5k + 5 ⋮ 5 (loại)

Từ những lập luận trên ta có:

P không chia hết cho 5 khi 

\(\left[{}\begin{matrix}n=5k+1\\n=5k+3\end{matrix}\right.\) (n \(\in\) N)

3) Ta có \(P\left(n\right)=n^{1800}\left(n^{80}+n^{40}+1\right)\). Đặt \(n^{10}=a\) với \(a\inℕ\), khi đó \(P\left(a\right)=a^{180}\left(a^8+a^4+1\right)\) còn \(Q\left(a\right)=a^2+a+1\). Ta sẽ chứng minh \(a^8+a^4+1⋮a^2+a+1,\forall a\inℕ\). Thật vậy, xét hiệu:

\(D=\left(a^8+a^4+1\right)-\left(a^2+a+1\right)=a^8+a^4-a^2-a\). Phân tích D thành nhân tử, ta được:

\(D=a\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\left(a^4+a+1\right)\)\(⋮a^2+a+1\)

Từ đây suy ra được \(a^8+a^4+1⋮a^2+a+1,\forall a\inℤ\). Vậy ta có đpcm

a) \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(\Rightarrow\left(3^n\cdot3^2+3^n\right)-\left(2^n\cdot2^2+2^n\right)\)

\(\Rightarrow3^n\left(3^2+1\right)-2^n\left(2^2+1\right)\)

\(\Rightarrow3^n\cdot10-2^n\cdot5\)

\(\Rightarrow3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot\left(2\cdot5\right)\)

\(\Rightarrow10\left(3^n-2^n\right)\) chia hết cho 10

b) \(3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+2}\)

\(\Rightarrow3^n\cdot3^3+3^n\cdot3+2^n\cdot2^3+2^n\cdot2^2\)

\(\Rightarrow3^n\left(3^3+3\right)+2^n\left(2^3+2^2\right)\)

\(\Rightarrow3^n\cdot30+2^n\cdot12\)

\(\Rightarrow3^n\cdot6\cdot5+2^n\cdot2\cdot6\)

\(\Rightarrow6\left(3^n\cdot5+2^n\cdot2\right)\) chia hết cho 6

\(N=3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(\Rightarrow N=\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^{n+2}+2^n\right)\)

\(\Rightarrow N=\left(3^n.3^2+3^n\right)-\left(2^{n-1}.2^3+2^{n-1}.2\right)\)

\(\Rightarrow N=\left[3^n\left(3^2+1\right)\right]-\left[2^{n-1}\left(2^3+2\right)\right]\)

\(\Rightarrow N=3^n.10-2^{n-1}.10\)

\(\Rightarrow N=\left(3^n-2^{n-1}\right).10⋮10\)

\(\Rightarrow N⋮10\left(đpcm\right)\)

Vậy \(N⋮10\)

a, Xét : 3^n+2 - 2^n+2 + 3^n - 2^n

= (3^n+2 + 3^n)-(2^n+2 + 2^n)

= 3^n.(3^2+1)-2^n-1.(2^3+2) ( vì n thuộc Z+ nên n-1 >= 0 )

= 3^n.10 - 2^n-1.10

= 10.(3^n-2^n-1) chia hết cho 10

b, Xét 3^n+2 - 2^n+4 + 3^n + 2^n

= (3^n+2+3^n)-(2^n+4-2^n)

= 3^n-1.(3^3+3) - 2^n-1.(2^5-2) ( vì n thuộc Z+ nên n-1 > = 0 )

= 3^n-1.30 - 2^n-1.30

= 30.(3^n-1 - 2^n-1) chia hết cho 30

Tk mk nha

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=3^{n+2}+3^n-\left(2^{n+2}+2^n\right)\)

\(=3^n.3^2+3^n-\left(2^n.2^2+2^n\right)\)

\(=3^n\left(3^2+1\right)-2^n.\left(2^2+1\right)\)

\(=3^n.10-2^n.5\)

\(=3^n.10-2^{n-1}.2.5\)

\(=3^n.10-2^{n-1}.10\)

\(=\left(3^n-2^{n-1}\right).10\) chia hết cho 10

Bảo nè,phải sửa lại đề n\(\in\)N* vì n=0 thì \(2^{0-1}=2^{-1}=\frac{1}{2}\) nên \(\left(3^n-2^{n-1}\right).10\) không chia hết cho 10

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=3^n.9-2^{n-1}.8+3^n-2^{n-1}.2\)

\(=3^n\left(9+1\right)-2^{n-1}\left(8+2\right)\)

\(=3^n.10-2^{n-1}.10\)

\(=10\left(3^n-2^{n-1}\right)\)\(⋮\)\(10\)

ta có: 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ

= 3ⁿ.3²-2ⁿ.2²+3ⁿ-2ⁿ

= 3ⁿ.(3²+1) - 2ⁿ.(2²+1)

= 3ⁿ. 10 - 2ⁿ.5

= 3ⁿ.10 - 2^n-1. 2.5

= 3ⁿ.10 - 2^n-1.10

= 10.(3ⁿ-2^n-1) chia hết cho 10

=> đ p c m