Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(a^2+b^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b

úi xin lỗi bài kia thiếu ._. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2 nhé

2. Ta có : a³ + b³ + ab = ( a + b )( a² - ab + b² ) + ab

= a² - ab + b² + ac = a² + b² ( do a+b=1 )

Sử dụng kết quả ở bài trước ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2

o biet

\(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{8}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\ge\)

\(\Leftrightarrow\frac{4a^2-4ab+4b^2-a^2-2ab-b^2}{8}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3a^2-6ab+3b^2}{8}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(a-b\right)^2}{8}\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

help meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

1) a³+b³+c³-3abc = (a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc

                           = (a+b+c)(a²+2ab+b²-ab-ac+c²) -3ab(a+b+c)

                           = (a+b+c)( a²+b²+c²-ab-bc-ca)

Vì a+b+c=0

=> a+b=-c

=> (a+b)³= (-c)³

=> a³+b³+3ab(a+b) = (-c)³

=> a³+b³+c³= 3abc

A = ( a+1)(b+1)

= ab + a + b + 1

= 1 + 1 + 1 + 1

= 4  

vì ab = 1 nên a\(\ge\)1

b\(\ge\)1

dấu bằng xảy ra khi a=b=1

ta có 

A = ( a+1)(b+1)

= ab + a + b + 1

= 1 + 1 + 1 + 1

= 4 

giải thích 

vì ab = 1 nên a>=1

b>=1

dấu bằng xảy ra khi a=b=1