Ta có 1971 chia 4 dư 3

Mà số chính phương là số chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1

=>23ⁿ chia 4 dư 1 hoặc dư 2

23ⁿ chia 4 dư 2 <=>23ⁿ là số chẵn(vô lí)

=>23ⁿ chia 4 dư 1

Ta có:23 = 3(mod 4)

         23ⁿ=3ⁿ(mod 4)

=>3ⁿ chia 4 dư 1

Xét n nhỏ nhất để 3ⁿ chia 4 dư 1 là 2(3²=9 chia 4 dư 1)

=>3ⁿ là bội của 9(n khác 0)

=> n là số chẵn khác 0

Vậy n chẵn và khác 0 thì...

411111111

TH1: n = 2k+1 (k∈N) (tức là n lẻ)
\(23^n\)+1971 chia 3 dư 2 => không là số chính phương
TH2: n=2k (tức là n chẵn)

\(^{23^n}\)+1971= \(23^{2k}\)+1971=> \(a^2\)(a−\(23^k\))(a+\(23^k\))= 1971 = 1.1971= 27.73

(a và 23 không chia hết cho 3 nên ta loại bớt trường hợp a−\(23^k\) , a+\(23^k\) đồng thời chia hết 3)
Giải hệ phương trình trên, được k=1 hay n=2

Ta có

\(n^2< n^2+n+6< n^2+6n+9\)

\(\Leftrightarrow n^2< n^2+n+6< \left(n+3\right)^2\)

Vì n² +n+ 6 là số chính phương nên 

\(\left(n^2+n+6\right)=\left(\left(n+1\right)^2;\left(n+2\right)^2\right)\)

Thế vô giải ra được n = 5