Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).
Chứng minh rằng:
2AD = AB + AC – BC
Hình 82
Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng:
2AD = AB + AC – BC
b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a).
Hình 82
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
BD = BE, CE = CF, AD = AF
Ta có:
AB + AC – BC = (AD + BD) + (AF + FC) – (BE + EC)
= (AD + AF) + (DB – BE) + (FC – EC)
= AD + AF = 2AD.
Vậy 2AD = AB + AC – BC (đpcm)
b) Tương tự ta tìm được các hệ thức:
2BE = BA + BC – AC
2CF = CA + CB – AB
Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng:
2AD=AB+AC-BC.
b) Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a).
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AD=AF; BD=BE; CF=CE.
Xét vế phải AB+AC-BC=
=(AD+DB)+(AF+FC)-(BE+EC)
=(AD+BE)+(AF+CE)-(BE+EC)
= AD+AF=2AD.
b) Các hệ thức tương tự là:
2BD=BA+BC-AC;
2CF=CA+CB-AB.
Nhận xét. Từ bài toán trên ta có các kết quả sau:
AD=AF=p-a; BD=BE=p-b; CE=CF=p-c
trong đó AB=c; BC=a; CA=b và p là nửa chu vi của tam giác ABC.
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AD=AF; BD=BE; CF=CE.
Xét vế phải AB+AC-BC=
=(AD+DB)+(AF+FC)-(BE+EC)
=(AD+BE)+(AF+CE)-(BE+EC)
= AD+AF=2AD.
b) Các hệ thức tương tự là:
2BD=BA+BC-AC;
2CF=CA+CB-AB.
Nhận xét. Từ bài toán trên ta có các kết quả sau:
AD=AF=p-a; BD=BE=p-b; CE=CF=p-c
trong đó AB=c; BC=a; CA=b và p là nửa chu vi của tam giác ABC.
Bài 31 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1)
Trên hình 82, tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O)$.
a) Chứng minh rằng: $2AD = AB + AC – BC$.
b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a).
a, Tam giác ABC ngọi tiếp đường tròn \(\left(O\right)\)nên AB, BC, AC lần lượt là tiếp tuyến tại D, E , F của đường tròn.
Theo tính chất của hai đường tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AD = AF ; DB = BE ; FC = CE
Xét vế phải:
VP = AB + AC - BC
= ( AD + DB ) + ( AF + CF ) - ( BE + CE )
Thay DB = BE , FC = CE vào biểu thức trên, ta được:
VP = ( AD + BE ) + ( AF + CE ) - ( BE + CE )
= AD + BE + AF + CE - BE - CE
= ( AD + AF ) + ( BE - BE ) + ( CE - CE )
= AD + AF
= AD + AD = 2AD
Vậy 2AD = AB + AC - BC
b, Các hệ thức tương tự là:
2BD = BA + BC - AC
2CF = CA + CB - AB
Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).
Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a).
Hình 82
Tương tự ta tìm được các hệ thức:
2BE = BA + BC – AC
2CF = CA + CB – AB
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC
b) Dựng hình bình hành AHIO. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng OI. OJ = R2
b) Vì AHIO là hình bình hành nên OI = AH = 2OM
Gọi P là trung điểm OC ⇒ PJ là trung trực OC ⇒ PJ ⊥ OC.
Có OM là trung trực BC ⇒ OM ⊥ BC. Suy ra
Δ O J P ~ Δ O C M ( g . g ) ⇒ O J O C = O P O M ⇒ O J . O M = O C . O P ⇒ O J .2 O M = O C .2 O P ⇒ O J . O I = O C . O C = R 2
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). CMR: 2AD = AB + AC - BC
Mình cũng quen đề này. Chắc D là tiếp điểm của AB với (O).
Nếu như vậy thì gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của AC, BC với (O)
Theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(\hept{\begin{cases}AD=AE\\BD=BF\\CF=CE\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}AD+AE=2AD\\BD-BF=0\\CE-CF=0\end{cases}}\)
Khi đó \(VP=AB+AC-BC\)\(=AD+BD+AE+CE-BF-CF\)
\(=\left(BD-BF\right)+\left(CE-CF\right)+\left(AD+AE\right)\)\(=2AD=VT\)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
D là gì vậy bạn?
Thanks, mình ghi đề thiếu, bạn giải đúng rồi
Cho tam giác ABC , AB> AC ngoại tiếp đường tròn (I ) và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (I ) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) tại K (K khác A).
a) Chứng minh HD là phân giác của góc BHC .
b) Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có AB > AC .Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BCD .Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH,OK xuống BC và BD (H ∈ BC , K ∈ BD). Chứng minh rằng OH < OK
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔABC , ta có: BC > AB - AC mà AC = AD (gt)
suy ra : BC > AB – AD hay : BC > BD
Vì trong một đường tròn ,dây cung lớn hơn gần tâm hơn nên: OH < OK