Hệ đã cho tương đương với : 

\(\hept{\begin{cases}xy+x+y+1=4\\yz+y+z+1=9\\xz+x+z+1=16\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=9\\\left(z+1\right)\left(x+1\right)=16\end{cases}}\)

Nhân các phương trình theo vế : \(\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2=24^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=24\\\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=-24\end{cases}}\)

Từ đây thay vào từng phương trinh trên để tìm x,y,z , rồi từ đó suy ra P

Ta có \(\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

Tương tự => \(M=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2z+zx}{\left(1+x\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2x+xy}{\left(1+x\right)\left(y+1\right)}\)

=> \(M=\frac{\left(1+2y+yz\right)\left(1+x\right)+\left(1+2z+zx\right)\left(1+y\right)+\left(1+2x+xy\right)\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

=>\(M=\frac{6+3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+xz\right)}{2+\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+xz\right)}=3\)

2 cái kìa còn lại làm tương tự rồi sau đó cộng lại với nhau sẽ ra 1 số tự nhiên nhé, dễ nên lười đánh nốt lắm :v

cam ơn ah. kết quả bằng 3 ah.

kho the

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}}{1+x+xy}+\frac{\sqrt{y}}{1+y+yz}+\frac{\sqrt{z}}{1+z+xz}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{x+xy+xyz}+\frac{xy\sqrt{z}}{xy+xyz+x^2yz}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{xy+x+1}+\frac{\sqrt{xy}.\sqrt{xyz}}{xy+x+1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{xy}}{xy+x+1}\le\frac{\frac{x+1}{2}+\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{xy+1}{2}}{xy+x+1}\) (bđt cosi)

=> \(P\le\frac{x+1+xy+x+xy+1}{2\left(xy+x+1\right)}=\frac{2\left(xy+x+1\right)}{2\left(xy+x+1\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra<=> x =  y = z = 1

Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z = 1