S=[2+2^2+2^3]+[2^4+2^5+2^6]+...+[2^2008+2^2009+2^2010] CHIA HẾT CHO 14

 SUY RA S CHIA HẾT CHO 14  

GIỮ LỜI NHA

S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰

    = (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

    = 2(1 + 2 + 2²) + 2⁴(1 + 2 + 2²) + ... + 2²⁰⁰⁸(1 + 2 + 2²)

    = 2.7 + 2⁴.7 + ... + 2²⁰⁰⁸. 7

    = 14 + 2³.14 + ... + 2²⁰⁰⁷.14

    = 14(1 + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁷) \(⋮\)14

\(S=2+2^2+2^3+...+2^{2010}\)

\(=\left(2+2^2+2^3\right)+2^3\left(2+2^2+2^3\right)+...+2^{2007}\left(2+2^2+2^3\right)\)

\(=\left(2+2^2+2^3\right)\left(1+2^3+2^6+...+2^{2007}\right)\)

\(=14\left(1+2^3+...+2^{2007}\right)⋮14\left(dpcm\right)\)

Gọi ƯCLN (3n+2;4n+3)=d

=> (4n+3) chia hết cho d => 3(4n+3) chia hết cho d => 12n+9 chia hết cho d

=> (3n+2) chia hết cho d => 4(3n+2) chia hết cho d => 12n+8 chia hết cho d

=> (12n+9) - (12n+8) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d\(\in\)Ư(1)

Mà d lớn nhất

=> d=1

=>3n+2 và 4n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Bài này mkik mới học hồi sáng, bạn kia làm đúng đó,  bạn ấy đi(^_^)

Gọi số ƯCLN của \(3n+2\) và \(4n+3\) là d

Ta có : \(\left(3n+2\right)⋮d\) và \(\left(4n+3\right)⋮d\Rightarrow\left(4n+3\right)-\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(4n+3\right)-4\left(3n+2\right)⋮d\Leftrightarrow\left(12n+9-12n+8\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\Leftrightarrow3n+2\)và \(4n+3NTNN\)

P=1+1/100

P=101/100

Vì N là số tự nhiên và 101/100 là phân số nên 101/100 \(\notin\)N

Vậy P \(\notin\)N

Thừa số phụ của các thừa số là : n1,n2,n3,n4,...,n99 và mẫu số chung là 2⁶,3⁴,...

=> A = \(\frac{n1+n2+n3+...+n99}{2^6.3^4...97}\)

Ta thấy mẫu số chung của A là tích cac thừa số nguyên tố trong đó có thừa số 2 là 2⁶ với số mũ lớn nhất

Đặt 2⁶. H (trong đó H là tích của các thừa số nguyên tố lẻ và thỏa mãn bé hơn 100 ). Trong các thừa số phụ trên, có thừa số phụ của phân số \(\frac{1}{64}=\frac{1}{2^6}\) là số lẻ (còn lại là thừa số phụ là số chẵn) => Khi thực hiên ta có mẫu số chẵn, tử số lẻ=> A không phải là số tự nhiên

Tổng A \(\notin N\)

K nha

Đặt \(S=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+.......+\frac{101}{3^{101}}\)

\(\Rightarrow3S=1+\frac{2}{3}+.......+\frac{101}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow3S-S=\left(1+\frac{2}{3}+..+\frac{101}{3^{100}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+..+\frac{101}{3^{101}}\right)\)

\(\Rightarrow2S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}< 1+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow6S< 3+1+........+\frac{1}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow6S-2S< \left(3+1+....+\frac{1}{3^{99}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3^{100}}\right)\)

\(\Rightarrow4S< 3-\frac{1}{3^{100}}< 3\Rightarrow S< \frac{3}{4}\)

Đặt \(A=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}+\frac{101}{3^{101}}\)

\(3A=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}+\frac{101}{3^{100}}\)

\(3A-A=\left(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{101}{3^{100}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{101}{3^{101}}\right)\)

\(2A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}\)

\(6A=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{101}{3^{100}}\)

\(6A-2A=\left(3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{101}{3^{100}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}\right)\)

\(4A=3-\frac{101}{3^{100}}-\frac{1}{3^{100}}+\frac{101}{3^{101}}\)

\(4A=3-\frac{303}{3^{101}}-\frac{3}{3^{101}}+\frac{100}{3^{101}}\)

\(4A=3-\frac{206}{3^{101}}< 3\)

=>\(4A< 3\)

\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\)

A=64.6¹⁰¹ +1 =64.(....6) +1 = (...4) + 1 = (....5) chia hết cho 5

=> A là hợp số