\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)

Ta có \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=10-2xy\)

\(\Rightarrow x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2=100-40xy+2x^2y^2\)

\(\Rightarrow P=\left(xy\right)^4+101-40xy+2x^2y^2\)

\(=\left[\left(xy\right)^4-8\left(xy\right)^2+16\right]+10\left[\left(xy\right)^2-4xy+4\right]+45\)

\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\)

\(\Rightarrow P\ge45\)

Dấu "=" xảy ra khi xy=2

Lại có \(x+y=\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{10}-y\Rightarrow xy=\sqrt{10}y-y^2=2\)

\(\Rightarrow y^2-\sqrt{10y}+2=0\)

Ta có \(\Delta=10-8=2\)

\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 45 khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)

Bài này làm phức tạp nên để khi khác làm

Bài này nhiều bạn đăng rồi, vô lục câu hỏi của CTV Lê Tài Bảo Châu đó, kéo xuống là thấy.

cảm ơn bạn

Anh tth trước chỉ em SOS kiểu này nè:)

\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)

\(=x^4+y^4+x^4y^4+1\)

\(=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)

\(=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)

\(=x^4y^4+2x^2y^2-40xy+101\)

\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\ge45\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=-\frac{5}{\sqrt{2}};y=-\frac{5}{2\sqrt{2}}\)

Chắc anh tth bày ko sai đâu !

P = x⁴.y⁴ + x⁴ + y⁴ + 1 

Ta có: x² + y² = (x + y)² - 2xy = 10 - 2xy => x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² - 2x²y² = (10 - 2xy)² - 2(xy)² = 100 - 40xy + 2(xy)²

=> P = (xy)⁴ + 2(xy)² - 40xy + 101 = [(xy)⁴ - 8(xy)² + 16] + 10.[(xy)² - 4xy + 4] + 45 = [(xy)² - 4]² + 10.(xy - 2)² + 45

=> P > 45 

Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2 

Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y² = 2 => y² - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0 

\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)

vậy  P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)

hok giỏi nhưng cx có bài bế tắc chứ bộ đâu fai hok giỏi nhất thiết là cái gì cx biết đâu

Miki Thảo ơi,mk đồng ý zới ý kiến của bn!

P = x⁴.y⁴ + x⁴ + y⁴ + 1 

Ta có: x² + y² = (x + y)² - 2xy = 10 - 2xy => x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² - 2x²y² = (10 - 2xy)² - 2(xy)² = 100 - 40xy + 2(xy)²

=> P = (xy)⁴ + 2(xy)² - 40xy + 101 = [(xy)⁴ - 8(xy)² + 16] + 10.[(xy)² - 4xy + 4] + 45 = [(xy)² - 4]² + 10.(xy - 2)² + 45

=> P > 45 

Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2 

Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y² = 2 => y² - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0 

\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)

vậy  P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)

ta có x+y=\(\sqrt{10}\)=>(x+y)^2=10

=x^4.y^4+1+x^4+y^4+2x^2.y^2-2x^2.y^2

=x^4.y^4+1+(x^2+y^2)^2-2x^y^2=x^4.y^4+1+[(x+y)^2-2xy]

=x^4.y^4+1+(10-2xy)-2x^2.y^2

=x^4.y^4+1+100-40xy+4.x^2.y^2-2x^2.y^2

=x^4.y^4+101-40xy+2.x^2.y^2

=(x^4.y^4-8.x^2.y^2+16)+(10.x^2.y^2-40xy+40)+45

=(x^2.y^2-4)^2+10.(xy-2)^2+45\(\ge\)0

dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{10}\\x.y=2\end{matrix}\right.\)

vậy Min A=45

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{10}\\x.y=2\end{matrix}\right.\)là nghiệm pt x^2-\(\sqrt{10}\)x+2

=>\(\Delta\)=(-\(\sqrt{10}\))^2-4.2=2>0

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

ta có x+y==>(x+y)^2=10

=x^4.y^4+1+x^4+y^4+2x^2.y^2-2x^2.y^2

=x^4.y^4+1+(x^2+y^2)^2-2x^y^2=x^4.y^4+1+[(x+y)^2-2xy]

=x^4.y^4+1+(10-2xy)-2x^2.y^2

=x^4.y^4+1+100-40xy+4.x^2.y^2-2x^2.y^2

=x^4.y^4+101-40xy+2.x^2.y^2

=(x^4.y^4-8.x^2.y^2+16)+(10.x^2.y^2-40xy+40)+45

=(x^2.y^2-4)^2+10.(xy-2)^2+45

dấu = xảy ra {x+y=√10x.y=2{x+y=10x.y=2

vậy Min A=45

\(A=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)

\(=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)

\(=\left[10-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)

\(=2x^2y^2+x^4y^4-40xy+101\)

\(=\left(x^4y^4-8x^2y^2+16\right)+10\left(x^2y^2-4xy+4\right)+45\)

\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\ge45\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{10}\\xy=2\end{cases}}\)

\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

mà \(^{x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=5}\)

=>\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\ge25\)

sai rồi