Gọi biểu thức đó là \(K=\frac{x+2003}{\left(x+2004\right)^2}\)

Đặt \(x+2003=k_0\)

Lúc đó \(K=\frac{k_0}{\left(k_0+1\right)^2}=\frac{\left(k_0^2+2k_0+1\right)-\left(k_0^2+k_0+1\right)}{k_0^2+2k_0+1}\)

\(=1-\frac{k_0^2+k_0+1}{k_0^2+2k_0+1}\)

Để K đạt GTLN thì \(\frac{k_0^2+k_0+1}{k_0^2+2k_0+1}\)đạt GTNN

Đặt \(k_1=k_0+1\Rightarrow k_0=k_1-1\)

\(\frac{k_0^2+k_0+1}{k_0^2+2k_0+1}=\frac{\left(k_1-1\right)^2+\left(k_1-1\right)+1}{k_1^2}\)

\(=\frac{k_1^2-k_1+1}{k_1^2}=\frac{1}{k_1^2}-\frac{1}{k_1}+1\)

Đặt \(\frac{1}{k_1}=k_2\)thì có \(K=k_2^2-k_2+1=\left(k_2-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(k_2=\frac{1}{2}\Rightarrow k_1=2\Rightarrow k_0=1\Rightarrow x=-2002\))

Vậy \(K_{max}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=-2002\)

 Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và không nên:

Vì IxI\(\ge\) 0

\(\Rightarrow\)IxI + 2004\(\ge\) 2004

 \(\Rightarrow\frac{Ix+2004I}{-2005}\le\frac{2004}{-2005}\)

Dấu bằng xảy ra khi x = 0

Vậy GTLN của B là\(\frac{2004}{-2005}\) khi x=0

Đặt \(t=\frac{1}{2004y}\)

Bài toán đưa về tìm x để t bé nhất 

Ta có \(t=\frac{\left(x+2004\right)^2}{2004x}=\frac{x^2+2.2004x+2004^2}{2004x}\)

\(=\frac{x}{2004}+2+\frac{2004}{x}=\frac{x^2+2004^2}{2004x}+2\)(1)

Ta thấy : Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số nguyên dương ta có :

\(x^2+2004^2\ge2.2004.x\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+2004^2}{2004x}\ge2\)(2)

Dấu ''='' xảy ra khi x=2004

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow t\ge4\)

Vậy giá trị bé nhất của \(t=4\)khi \(x=2004\)

Vậy \(y_{max}=\frac{1}{2004t}=\frac{1}{8016}\)Khi \(x=2004\)

D đạt giá trị lớn nhất khi (x + 2004)² = 1

<=> x + 2004 = 1  hoặc x + 2004 = - 1 => x = - 2003 hoặc x = - 2005 => GTLN của D = - 2003 khi x = - 2003