Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\)

   \(\Leftrightarrow1+\dfrac{b}{a}=1+\dfrac{d}{c}\)

   \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{c+d}{c}\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

Áp dụng t/c dtsbn:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{c+d}{c}\)

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)

=> cd(a² + b²) = ab(c² + d²) 

=> a²cd + b²cd = abc² + abd²

=>  a²cd + b²cd - abc² - abd² = 0

=>  (a²cd - abc²) + (b²cd - abd²) = 0

=> ac(ad - bc) + bd(bc - ad) = 0

=> ac(ad - bc) - bd(ad - bc) = 0

=> (ac - bd)(ad - bc) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}ac-bd=0\\ad-bc=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}ac=bd\\ad=bc\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\\\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\end{cases}}\Rightarrow\text{đpcm}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\begin{cases}a=b.k\\c=d.k\end{cases}\)

Ta có:

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{b.k+b}{b.k-b}=\frac{b.\left(k+1\right)}{b.\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\left(1\right)\)

\(\frac{c+d}{c-d}=\frac{d.k+d}{d.k-d}=\frac{d.\left(k+1\right)}{d.\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\left(đpcm\right)\)

Đặt a/b =c/d =k =>a =bk ,c =dk

Ta có: ab/cd =bk.b /dk.d =b^2.k /d^2 .k =(b/d)^2                                      ₍₁₎

           (a+b)^2 /(c+d)^2 =(bk+b/dk+d)^2 =[b(k+1)/d(k+1)]^2 =(b/d)^2       ₍₂₎

Từ(1)(2) suy ra ab/cd  =(a+b)^2 /(c+d)^2

Trong 4 số a,b,c,d sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 nên tích đó sẽ chia hết cho 3.

Trong 4 số a,b,c,d

Nếu có 2 số có cùng số dư khi chia cho 4 thì tích đó chia hết cho 4

Nếu không có cùng số dư thì số dư của 4 số đó chia cho 4 lần lược sẽ là 0,1,2,3. Vậy trong 4 số này có 2 số chẵn, 2 số lẻ. Mà hiệu 2 số chẵn và lẻ đều là số chẵn nên tích đó phải có ít nhât 2 số chẵn hay tích đó  chia hết cho 4

Vì 3 và 4 nguyên tố cùng nhau nên tích đã cho chia hết cho 12

Quá dễ

đối với tôi là khó

  a+b=c+d => a=c+d-b 
thay vào ab+1=cd 
=> (c+d-b)*b+1=cd 
<=> cb+db-cd+1-b^2=0 
<=> b(c-b)-d(c-b)+1=0 
<=> (b-d)(c-b)=-1 
a,b,c,d,nguyên nên (b-d) và (c-b) nguyên 
mà (b-d)(c-b)=-1 nên có 2 TH: 
TH1: b-d=-1 và c-b=1 
<=> d=b+1 và c=b+1 
=> c=d 
TH2: b-d=1 và c-b=-1 
<=> d=b-1 và c=b-1 
=> c=d 
Vậy từ 2 TH ta có c=d.

a+b= c+d 

suy ra a = c+d-b thay vao ab + 1 = cd

suy ra (c+d-b)* b + 1 = cd

cb+db-b^2 +1 = cd 

cb + db - b^2 +1 - cd = 0

(b-d)(c-d) = - 1

a,b,c,d nguyen nen B-d va c-d nguyen 

Ta co 2 truong hop 

b - d = -1 va c - b = 1  

d = b + 1  va c = 1+ b 

suy ra d = b (dpcm)

TH2 

b - d = 1    c - b = -1 

d = b - 1        c = b- 1

suy d  = c (dpcm 0 

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a-b}{c-d}\\\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{a}{c}\right)^2=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\\\left(\dfrac{a}{c}\right)^2=\dfrac{ab}{cd}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)