a, Với mọi \(x;y\inℚ\)ta có :

\(x\le|x|\)và \(-x\le|x|;y\le|y|\)và \(-y\le|y|\)

\(\Rightarrow x+y\le|x|+|y|\)

    \(-x-y\le|x|+|y|\)

\(\Rightarrow x+y\ge-\left(|x|+|y|\right)\)

\(\Rightarrow-\left(|x|+|y|\right)\le x+y\le|x|+|y|\)

Vậy \(|x+y|\le|x|+|y|\)

Dấu "=" xảy ra khi xy \(\ge\) 0.
 

b,

Theo kết quả câu a, ta có :

\(|\left(x-y\right)+y|\le|x-y|+|y|\)

\(\Rightarrow|x|\le|x-y|+|y|\Rightarrow|x|-|y|\le|x-y|\)

Dấu "=" xảy ra khi xy \(\ge\) 0 và   \(|x|\ge|y|\)
 

a,với mọi x,ythuộc Q ta có:

x\(\le\)|x| và -x\(\le\)|x|; y\(\le\)|y| và -y \(\le\)|y|

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\\-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\end{cases}}\)

mà\(\orbr{\begin{cases}\left|x+y\right|=x+y\\\left|x+y\right|=-x-y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

+ x>/ 0; y>/ 0   

      /x+y/  = /x/ + /y/ = x+y

+ x<0 ; y<0

    /x+y/ = /x/ + /y/ = - x -y  =-( x+y)

+ x >/ 0 ; y </ 0  =>   / x+ y/  = x+y < x < /x/ + /y/

   x</ 0 ; y>/ 0 tương tự

Vậy / x+y/ </ /x/ + /y/

Giả thiết đề bài phải cho \(x^2+y^2+z^2\le3\) mới đúng.

Đặt \(m=x+y+z\)  thì \(m^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\le3+2\left(xy+yz+zx\right)\)

                                            \(\le3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3+3.2=9\)

\(\Rightarrow m^2\le9\Rightarrow-3\le m\le3\) (1) 

Lại có ; \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{m^2}{3}\le\frac{9}{3}=3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x+y+z+xy+yz+zx\le6\) (đpcm)

Đề: \(1\le y\le x\le30\)GTLN \(P=\frac{x+y}{x-y}\)

Giải: Ta có:  \(\frac{x}{y}\)>1

Ta có \(P=\frac{x+y}{x-y}\)\(=\frac{\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}-1}-1+1=\frac{2}{\frac{x}{y}-1}+1\)

Để P Lớn nhất =>  \(\frac{2}{\frac{x}{y}-1}\) lớn nhất => \(\frac{x}{y}-1\)nhỏ nhất => \(\frac{x}{y}\)nhỏ nhất 

Mà x>y nên đặt x=y+d

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y+d}{y}=1+\frac{d}{y}\), nên để  \(\frac{x}{y}\)nhỏ nhất thì d nhỏ nhất và y lớn nhất có thể nên d=1 và y=29

Hay \(\hept{\begin{cases}x=30\\y=29\end{cases}}\)

GTLN P=\(\frac{29+30}{30-29}=59\)

Ta có: 

\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=\frac{x^2}{y^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}\)

\(=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4\ge4\) với mọi x y >0

Vì x, y >0 => \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>0\) mà \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge4\)

=> \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2>\frac{1}{2}\)với mọi x, y >0

"=" xảy ra <=> x =y

Em kiểm tra lại đề bài nha.

Đề bài khó hiểu quá. Bạn cần viết lại đề để được hỗ trợ tốt hơn.