Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn hệ thức AC2 + BD2 = AD2 + BC2. Tìm mệnh đề đúng?
A. AC và AD vuông góc với nhau
B. AC và BD vuông góc với nhau
C. AB và CD vuông góc với nhau
D. AB và BC vuông góc với nhau
Cho tứ giác ABCD có các đường chéo AC và BD cắt nhau ở O và AD vuông góc với AC ,
BD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm EO và CD
a) C/m : d là đường trung trực của đoạn AB
b) ABCD phải thỏa mãn điều kiện gì để d trùng với đoạn thảng EO
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi A C 2 + B D 2 = A D 2 + B C 2
Giả sử AB ⊥ CD ta phải chứng minh:
Thật vậy, kẻ BE ⊥ CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD ⊥ (ABE) nên CD ⊥ AE. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có:
Nếu A C 2 − A D 2 = B C 2 − B D 2 = k 2 thì trong mặt phẳng (ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho
Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD ⊥ AB.
Nếu A C 2 − A D 2 = B C 2 − B D 2 = - k 2 thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên A C 2 − A D 2 = B C 2 − B D 2 = - k 2 .
Chú ý. Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra:
Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau khi và chỉ khi A B 2 + C D 2 = A C 2 + B C 2 .
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm, tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O. Vẽ OD vuông góc với BC, OE vuông góc với AB, OF vuông góc với AC.
a) Chứng minh OD = OE và OF
b) Chứng minh AE = AF = OE; BE = BD; CF = CD
c) Chứng minh AB + AC - BC = 2AE
d) Tính khoảng cách từ điểm O từ các cạnh của tam giác ABC
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. Vẽ BE vuông góc CD tại E, gọi M là giao điểm của AD và BE. Vẽ EN vuông góc BD tại N. Chứng minh
a) MN//AB
b) M là trung điểm của BE
Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng d vuông góc với AB ở I nằm giữa A và B . lấy C thuộc d . Đường thẳng vuông góc với AC ở A và đường thẳng vuông góc với BC ở B cắt nhau ở D . Kẻ DJ vuông góc AB tại J . Chứng minh rằng trung điểm O của CD cách đều A và B , I và J
Cho tứ giác ABCD có các đường chéo AC và BD cắt nhau ở O và AD vuông góc với AC ,
BD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của ad và bc. Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm EO và CD
a) C/m : d là đường trung trực của đoạn AB
VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV
Cho tứ giác ABCD có các đường chéo AC và BD cắt nhau ở O và AD vuông góc với AC ,
BD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của ad và bc. Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm EO và CD
a) C/m : d là đường trung trực của đoạn AB
Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AB=6cm; AC=8cm. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB rồi lấy điểm D sao cho CD=10cm ( D và B ở 2 nửa mặt phẳng khác nhau bờ là AC ).
a) CM: BD là tia phân giác
b) Gọi I là trung điểm của BD. Tia IM vuông góc với AB; IN vuông góc với BC; IP vuông góc với CD. CM : IN=IM
cho hình thang vuông (ab song song cd) góc A= góc D =90 độ và AD=CD=AB/2 . Kẻ CH vuông góc với AB . Gọi O là giao điểm của BD và CH
a) C/m AC vuông góc với BC
b) C/m OO'=1/2DC=1/2AB