Đặt 2011=t

\(\Rightarrow T=\sqrt{1+\left(t-1\right)^2+\frac{\left(t-1\right)^2}{t^2}}+\frac{t-1}{t}\)

        \(=\sqrt{\frac{t^2+t^2\left(t-1\right)^2+\left(t-1\right)^2}{t^2}}+\frac{t-1}{t}\)

        \(=\frac{\sqrt{t^2+t^4-2t^3+t^2+t^2-2t+1}+t-1}{t}\)

        \(=\frac{\sqrt{t^4+t^2+1+2t^2-2t^3-2t}+t-1}{t}\)

         \(=\frac{\sqrt{\left(t^2-t+1\right)^2}+t-1}{t}\)

       \(=\frac{t^2-t+1+t-1}{t}=t=2011\)

mà \(2011\in Z\)

nên T là một số nguyên.

1) \(P=\frac{1}{5^2}+\frac{2}{5^3}+\frac{3}{5^4}+...+\frac{11}{5^{12}}\)

\(5P=\frac{1}{5^1}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^3}+...+\frac{11}{5^{11}}\)

\(5P-P=\frac{1}{5^1}+\left(\frac{2}{5^2}-\frac{1}{5^2}\right)+\left(\frac{3}{5^3}-\frac{2}{5^3}\right)+...+\left(\frac{11}{5^{11}}-\frac{10}{5^{11}}\right)-\frac{11}{5^{12}}\)

\(4P=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{11}}-\frac{11}{5^{12}}\)

Đặt \(A=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{11}}\)

\(5A=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{10}}\)

\(5A-A=1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{10}}-\frac{1}{5^{11}}\)

\(4A=1-\frac{1}{5^{11}}\Rightarrow A=\frac{1-\frac{1}{5^{11}}}{4}\)

\(4P=\frac{1-\frac{1}{5^{11}}}{4}-\frac{11}{5^{12}}=\frac{1-\frac{1}{5^{11}}}{16}-\frac{11}{5^{12}\cdot4}< \frac{1}{16}\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}

a, Vì A có 3 chữ số tận cùng là 008 => A chia hết cho 8 (1)

A có tổng các chữ số là 12 chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) với (3,8)=1 => A chia hết cho 24

b, Vì A có chữ số tận cùng là 8 nên A không phải là số chính phương. 

Onepiece23