Cho \(a+b+c=0,a,b,c\ne0.\)Rút gọn
\(A=\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
Bài 1.
Cho a+b+c=0. Tính:
\(\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}\)
Bài 2.
Cho a-b-c=0. Tính:
\(\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}\)
Bài 3. Cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0(a,b,c\ne0)\)
Rút gọn: \(\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab}\)
Bài 4. Cho \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
Rút gọn:\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\)
1. a + b + c = 0 \(\Rightarrow\)a + b = -c \(\Rightarrow\)( a + b )2 = ( -c )2 \(\Rightarrow\)a2 + b2 - c2 = -2ab
Tương tự : b2 + c2 - a2 = -2bc ; c2 + a2 - b2 = -2ac
Ta có : \(\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}\)
\(=\frac{1}{-2ab}+\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}=\frac{-1}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)
\(=\frac{-1}{2}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=0\)
2. tương tự
3,4 . có ở dưới, câu hỏi của Quyết Tâm chiến thắng
Cho a+b+c=0 và abc \(\ne\)0
Rút gọn biểu thức \(C=\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
C=\(\frac{ab}{a^2+\left(b-c\right)\left(c+b\right)}+\frac{bc}{b^2+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}\)+\(\frac{ac}{c^2+\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)
Vì a+b+c=0 =>-a=b+c ; -c=a+b ; -b=a+c
=>C=\(\frac{ab}{a^2-a\left(b-c\right)}+\frac{bc}{b^2-b\left(c-a\right)}+\frac{ac}{c^2-c\left(a-b\right)}\)
=\(\frac{ab}{a\left(a-b+c\right)}+\frac{bc}{b\left(b-c+a\right)}+\frac{ac}{c\left(c-a+b\right)}\)
=\(\frac{b}{-2b}+\frac{c}{-2c}+\frac{a}{-2a}\)
=\(\frac{-3}{2}\)
Cho \(a+b+c=0\) \(\left(a\ne0;b\ne0;c\ne0\right)\)
Cmr \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
ta thấy từ a+b+c=0 \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)(được cm nhiều trg sách cx như trên mạng)
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}=3\)
suy ra đpcm
Ta có : \(a+b+c=0\)
Lập phương 2 vế lên ta có :
\(\left(a+b+c\right)^3=0^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
mà \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(-a\right)\left(-b\right)\left(-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta lại có:
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3=0\)
Theo chứng minh trên có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow\frac{3abc}{abc}-3=0\)
\(\Leftrightarrow3-3=0\)( đúng )
Vậy với \(a+b+c=0\left(a\ne0;b\ne0;c\ne0\right)\)thì \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
Đến chỗ: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
=> \(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}\)
=> \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=3\)
=> \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}-3=0\) là đc rồi em nhé!
Dòng thứ 9 trở xuống là khồn đúng đâu nhé!
cho biểu thức A = \(\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
với a,b,c \(\ne0\) thoả mãn a+b+c=0 thì A =
Cho mình sửa đề một chút nha
\(A=\dfrac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)(*)
Theo bài ra , ta có :
\(\left(+\right)a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\) (1)
\(\left(+\right)a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow b+c=-a\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow b^2+2bc+c^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2=-2bc\) (2)
\(\left(+\right)a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+c=-b\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2=b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ac+c^2=b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+c^2-b^2=-2ac\) (3)
Thay (1) , (2) , (3) vào (*) ta được
\(A=\dfrac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
\(=\dfrac{ab}{-2ab}+\dfrac{bc}{-2bc}+\dfrac{ca}{-2ca}=-\dfrac{1}{2}+-\dfrac{1}{2}+-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(A=-\dfrac{3}{2}\)
Chúc bạn học tốt =))
Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức:
\(A=\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ac}{c^2+a^2-b^2}\)
Có a + b + c = 0
=> a + b = - c
=> (a + b)2 = c2
=> a2 + b2 + 2ab = c2
=> a2 + b2 - c2 = - 2ab
Tương tự, b2 + c2 - a2 = - 2bc và c2 + a2 - b2 = - 2ca
Do đó \(A=\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ca}{-2ca}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)
a+b+c=0=>a+b=-c=>a2+b2+2ab=c2=>a2+b2-c2=-2ab
Tương tự b2+c2-a2=-2bc,c2+a2-b2=-2ac
=>\(A=\frac{-ab}{2ab}+\frac{-bc}{2bc}+\frac{-ca}{2ca}=\frac{-3}{2}\)
Tham khảo ở đây bạn nhé :
https://olm.vn/hoi-dap/detail/97677187025.html
~ Study well ~
Cho a,b,c>0. Cmr: a) \(\frac{ab}{a^2+bc+ca}+\frac{bc}{b^2+ca+ab}+\frac{ca}{c^2+ab+bc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
b) \(\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\le1\)
a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)
@tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @No choice teen, @Akai Haruma
giúp e vs ạ! Cần gấp
Thanks nhiều
Cho a , b, c là các hằng số : \(a\ne0,\)\(b\ne0,\)\(c\ne0\)và \(a+b+c=0\)
Rút gọn biểu thức
\(A=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}-\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
Ta có : \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2\)
\(\Rightarrow c^2-a^2-b^2=2ab\)
Tương tự :
\(b^2-c^2-a^2=2ac\)
\(a^2-b^2-c^2=2ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Mà \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)( cái này rất dễ chứng minh nha , bạn có thể tham khảo trên mạng hoặc nhắn tin cho mình )
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)
#)Giải :
Ta có : \(a+b+c=0\Rightarrow a^2=\left(b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2ab\)
Tương tự, ta có :
\(\sum\)\(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\)\(\sum\)\(\frac{a^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)
mình c/m \(a+b+c=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(a+b+c=0\Leftrightarrow a+b=-c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3b^2a+b^3+c^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab.\left(a+b\right)=3abc\)(a+b+c=0)
cho a+b+c=o (a,b,c khác 0)
a) rút gọn A= \(\frac{a^2}{bc}\)+ \(\frac{b^2}{ca}\)+ \(\frac{c^2}{ab}\)
b) rút gọn B= \(\frac{a^2}{a^2-B^2-C^2}\)+\(\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}\)+\(\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc \)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}\left(abc\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=3\)
\(a.\) Chú ý rằng nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=0\)
Thật vậy, ta có: \(a+b+c=0\) \(\Rightarrow\) \(c=-\left(a+b\right)\)
Do đó: \(a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+\left[-\left(a+b\right)\right]^3=-3a^2b-3ab^2=-3ab\left(a+b\right)=3abc\)
Áp dụng nhận xét trên, ta có:
\(A=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}=\frac{1}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)=\frac{1}{abc}.3abc=3\) với \(a,b,c\ne0\)
\(b.\) Từ \(a+b+c=0\) \(\Rightarrow\) \(b+c=-a\) \(\Rightarrow\) \(\left(b+c\right)^2=\left(-a\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(b^2+2bc+c^2=a^2\) \(\Rightarrow\) \(a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự, \(b^2-c^2-a^2=2ac\) và \(c^2-a^2-b^2=2ab\)
Mặt khác, từ \(a+b+c=0\) \(\Rightarrow\) \(a^3+b^3+c^3=3abc\) (theo nhận xét câu \(a.\))
Do vậy, \(B=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)
với \(a,b,c\ne0\)
Cho ab + bc + ca = 1
Rút gọn: P =\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}-\frac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)