Có: 1/5 =1/5

1/6<1/5

1/7<1/5

1/8<1/5

1/9<1/5

=> 1/5+1/6+1/7+1/8+1/9<1/5+1/5+1/5+1/5+1/5=1.

Vậy 1/5+1/6+1/7+1/8+1/9<1(đpcm).

(1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9)<(1/5 x 5)

(Vì 5 số hạng biểu thức đề cho có 4 số hạng nhỏ hơn 1/5 và chỉ có 1/5 = 1/5)

⇒ (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9) < 1

Vậy...

Do1/5+1/6+1/7+1/8+1/9<1/5+1/5+1/5+1/5+1/5=1

\(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{17}\)

\(=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{11}+...+\frac{1}{17}\right)< \frac{1}{5}.6+\frac{1}{11}.7=\frac{6}{5}+\frac{7}{11}\)

\(=1\frac{46}{55}< 2\Rightarrowđpcm\)

C có 13 phân số tất cả, ta chia ra như sau: 
C =1/5+(1/6+....1/11)+(1/12+1/12+.....1/16 +1/17) 
Vì trong nhóm I thì 1/ 6 là lớn nhất, nhóm II thì 1/12 là lớn nhất ,xuy ra: 
C< 1/5 +6.1/6+6.1/12 
C<1/5+ 1 +1/2 
C<1+7/10<1+1=2 
Vậy C<2

tick nha

Cách1: Chọn MS chung là 3.5.7.8=> Mẫu số chẵn Tử số của PS 1/2 : 3.5.7.4 ; PS 1/3: 5.7.8

PS 1/4: 3.5.7.2 PS 1/5: 3.7.8

PS 1/6: 5.7.4 => Các TS này đều chẵn PS 1/8 : 3.5.7 => TS này lẻ Vậy TS là số lẻ mà MS là số chẵn. => tổng trên không là số tự nhiên

Cách 2: Coi tổng trên là S nhé 1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8 > 6/8 =3/4 Vậy S > 1/2 +3/4 = 5/4. (1) Mà 1/4+1/5+1/6+1/7 < 1/4 x 4 = 1 1/2 + 1/3 +1/8 = 23/24 Vậy S< 1 + 23/24 < 2 (2) Từ (1) và (2) => 5/4 < S <2

Vậy S cũng chẳng phải số tự nhiên

Cách1:

Chọn MS chung là 3.5.7.8=> Mẫu số chẵn
Tử số của PS 1/2 : 3.5.7.4 ;
PS 1/3: 5.7.8
PS 1/4: 3.5.7.2
PS 1/5: 3.7.8
PS 1/6: 5.7.4
=> Các TS này đều chẵn
PS 1/8 : 3.5.7 => TS này lẻ
Vậy TS là số lẻ mà MS là số chẵn. 
=> tổng trên không là số tự nhiên

Cách 2:

Coi tổng trên là S nhé
1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8 > 6/8 =3/4
Vậy S > 1/2 +3/4 = 5/4. (1)
Mà 1/4+1/5+1/6+1/7 < 1/4 x 4 = 1
1/2 + 1/3 +1/8 = 23/24
Vậy S< 1 + 23/24 < 2 (2)
Từ (1) và (2) => 5/4 < S <2
Vậy S cũng chẳng phải số tự nhiên.

Ta có:

1/41 + 1/42 + .....+1/60 < 1/40 . 20 = 1/2

1/61 + 1/62 +.......+1/80 < 1/60 . 20 = 1/3

=> 1/41 + 1/42 +.....+1/79 + 1/80 < 1/2 + 1/3 = 5/6

1/41 + 1/42 +...+1/60 > 1/60 . 20 = 1/3

1/61 + 1/62 +....+ 1/80 > 1/80 . 20 = 1/4

=> 1/41 + 1/42 +.......+ 1/79 + 1/80 > 1/3 + 1/4 = 7/12

KL: Vậy 7/12 < 1/41 + 1/42 +.....+ 1/80 < 5/6 (đpcm)

* Ta có : 1/21 >1/30 ;1/22 >1/30 ;...;1/29 >1/30 

=> 1/21 +1/22 +...+1/29 +1/30 >1/30 +1/30 +...+1/30 =10/30 =1/3    (1)

1/31 >1/40 ;1/32 >1/40 ;...;1/39 >1/40 

=> 1/31 +1/32 +...+1/39 +1/30 >1/40 +1/40 +...+1/40 =10/40 =1/4    (2)

Từ (1) và (2) 

=> 1/21 +1/22 +...+1/30 +1/31 +1/32 +...+1/40 >1/3 +1/4 

=> 1/21 +1/22 +1/23 +...+1/40 >7/12   (*)

* Ta có : 1/21 <1/20 ;1/22 <1/20 ;...;1/30 <1/20 

=> 1/21 +1/22 +...+1/29 +1/30 <1/20 +1/20 +...+1/20 =10/20 =1/2   (3)

1/31 <1/30 ;1/32 <1/30 ;...;1/40 <1/30 

=> 1/31 +1/32 +...+1/39 +1/40 <1/30 +1/30 +...+1/30 =10/30 =1/3   (4)

Từ (3) và (4) 

=> 1/21 +1/22 +...+1/30 +1/31 +1/32 +...+1/40 <1/2 +1/3 

=> 1/21 +1/22 +1/23+...+1/40 <5/6     (**)

Từ (*) và (**) ta có : 7/12 <1/21 +1/22 +1/23 +...+1/40 <5/6   (đpcm)

Bài hơi dài , thông cảm

Ta có : \(\frac{1}{21}>\frac{1}{30};\frac{1}{22}>\frac{1}{30};\frac{1}{23}>\frac{1}{30};...;\frac{1}{29}>\frac{1}{30}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+...+\frac{1}{29}>\frac{1}{30}+\frac{1}{30}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{30}\)

\(>\frac{10}{30}=\frac{1}{3}(1)\)

Ta có  : \(\frac{1}{31}>\frac{1}{40},\frac{1}{32}>\frac{1}{40},...,\frac{1}{39}>\frac{1}{40}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+...+\frac{1}{39}>\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\)

\(>\frac{10}{40}=\frac{1}{4}(2)\)

Từ 1 và 2 \(\Rightarrow A>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\Rightarrow A>\frac{7}{12}\)

Ta có : \(\frac{1}{21}< \frac{1}{20};\frac{1}{22}< \frac{1}{20};...;\frac{1}{30}< \frac{1}{20}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+...+\frac{1}{30}< \frac{1}{20}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{20}\)

\(< \frac{10}{20}=\frac{1}{2}(3)\)

Ta lại có : ....

Làm tiếp đi :v

Thôi,làm nốt :v

Ta lại có : \(\frac{1}{31}< \frac{1}{30};\frac{1}{32}< \frac{1}{30};\frac{1}{33}< \frac{1}{30};...;\frac{1}{40}< \frac{1}{30}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40}< \frac{1}{30}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{30}\)

\(\Rightarrow A< \frac{10}{30}=\frac{1}{3}(4)\)

Từ 3 và 4 \(\Rightarrow A< \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\)

\(\Rightarrow A< \frac{5}{6}\)

Như vậy : \(\frac{7}{12}< A< \frac{5}{6}(đpcm)\)