1) Xét 1/k^2 = 1/(k.k) < 1/[k(k - 1)] = 1/(k - 1) - 1/k 
Do đó : 
1/2^2 < 1/1 - 1/2 
1/3^2 < 1/2 - 1/3 
... 
1/n^2 < 1//(n - 1) - 1/n 

Suy ra : 
1+ (1/2^2+1/3^2+...+1/n^2) < 1 + (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + .. + [1/(n - 1) - 1/n] = 2 - 1/n < 2 (đpcm) 

2) Đặt A = (u+1/u)^2 + (v+1/v)^2 
Áp dụng BĐT 2(a^2 + b^2) >= (a + b)^2 (dễ cm BĐT này) 
Ta có : 2A = 2[(u+1/u)^2 + (v+1/v)^2] >= (u + 1/u + v + 1/v)^2 = (1 + 1/u + 1/v)^2 (vì u + v = 1) (1) 
Nhận xét rằng ta có (u + v)(1/u + 1/v) >= 4 (cũng dễ cm được BĐT này) 
=> 1/u + 1/v >= 4 (do u + v = 1) 
=> (1 + 1/u + 1/v)^2 >= (1 + 4)^2 = 25 (2) 
Từ (1)(2) ta có 2A >= 25 hay A >= 25/2 (đpcm) 
Đẳng thức xảy ra khi u = v = 1/2

Sử dụng BĐT Svacxo ta được :

\(LHS\ge\frac{\left(u+\frac{1}{u}+v+\frac{1}{v}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\right)^2}{2}\)

Lại tiếp tục sử dụng BĐT Svacxo ta được :

\(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1^2}{u}+\frac{1^2}{v}=\frac{\left(1+1\right)^2}{u+v}=\frac{4}{u+v}=4\)

Khi đó \(\frac{\left(1+\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(u=v=\frac{1}{2}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

khoong            

Bài 1 :

\(\frac{3n+2}{n+1}=\frac{3\left(x+1\right)-1}{n+1}=\frac{-1}{n+1}\)

=> n + 1 \(\in\)Ư(-1) = {1;-1}

Tự lập bảng xét giá trị bn nhé !

Bài 2 :

\(\frac{5}{x}-\frac{y}{3}=\frac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{x}=\frac{1}{6}+\frac{y}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{x}=\frac{1+2y}{6}\)

\(\Leftrightarrow30=x\left(1+2y\right)\)

Tự lập bảng nhé ! 

ok bạn nhưng mấy bài kia 

giải hộ mình 

k k 

\(A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2014^2}\)

\(\Rightarrow A< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2013.2014}\)

\(\Rightarrow A< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{2}{4}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\)

\(\Rightarrow A< 1+1-\frac{1}{2014}\)

\(\Rightarrow A< 2-\frac{1}{2014}< 2\)

Vậy A < 2 (đpcm)

2/ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+2abxy\le a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow bx^2+ay^2-2abxy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\)(đúng)  Dấu "=" xảy ra khi x/a=y/b

Ta có: \(\left(x+4y\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+4y^2\right)=5\left(x^2+4y^2\right)\)

Mà a + 4b = 1

\(\Rightarrow x^2+4y^2\ge\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{2}{2y}=\frac{1}{y}\\x+4y=1\end{cases}}\Rightarrow x=y=\frac{1}{5}\)

bài tập đội tuyển hay chuyên đề vậy?

đội tuyển

\(\frac{2n+5}{2n+1}=1+\frac{4}{2n+1}\Rightarrow2n+1\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

\(\frac{n^2+2n+4}{n+1}=n+1+\frac{3}{n+1}\Rightarrow n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\frac{n^2+2n+2}{n+1}=n+1+\frac{1}{n+1}\Rightarrow n+1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

\(\frac{3n+7}{n+2}=3+\frac{1}{n+2}\Rightarrow n+2\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

câu cuối thì mk chịu 

Làm đến đây bạn lập bảng hoặc xét từng trg hợp nha

Có A=1+ 1/2+1/3+... +1/2^10-1

<=> 2-1+1-1/2+1/2-1/3+...- 1/2^10-1

<=> 2-1/2^10-1

Mà 1/2^10-1 < 1 => 2-1/2^10-1 <2

=> A<10

thanhks