Cho tam giác ABC nhọn, độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Chứng minh rằng:
a sin A = b sin B = c sin C
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: a/ sin A= b/ sin B= c/ sinC
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=62067&q=cho%20tam%20gi%C3%A1c%20ABC%20nh%E1%BB%8Dn%20c%C3%B3%20BC%3Da%3B%20AC%3Db%3B%20AB%3Dc%3BCMR%3A%20a%2FsinA%3Db%2FsinB%3Dc%2Fsin%20C
Cho tam giác nhọn ABC . gọi a,b,c lần lượt là đọ dài các cạnh đối diện với đỉnh ABC . CMR a / sin A = b / sin B = c / sin C.
kẻ đường cao AH,BD,CK
ta có sinA=BD/AB=> BD=sinA.AB
sinB=CK/BC=> CK=sinB.BC
sinC=AH/AC=> AH=sinC.AC
ta có sin B=KC/BC=KC/a; sinB=AH/AB=AH/c
=> KC/a=AH/c
=> \(\frac{sinB.a}{a}=\frac{sinC.b}{c}\)
=> \(sinB=\frac{sinC.b}{c}\)
=> sinB.c=sinC.b
=> \(\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\left(1\right)\)
ta lại có sinC=AH/AC=AH/b; sinC=BD/BC=BD/a
=> AH/b=BD/a
=> \(\frac{sinC.b}{b}=\frac{sinA.c}{a}\)
=> sinC.a=sinA.c
=> \(\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}\left(2\right)\)
(1),(2)=> a/sinA=b/sinB=c/sinC (đpcm)
Cho a,b,c lần lượt là độ dài cạnh BC,CA,Ab của tam giác ABC. CMR: \(Sin\frac{A}{2}< =\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
Ta có : \(Sin\frac{A}{2}=Sin\widehat{BAM}=Sin\widehat{CAM}=\frac{BH}{AB}=\frac{CK}{CA}\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}=\frac{BH}{b}=\frac{CK}{c}\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}=\frac{BH.CK}{bc}\)
Lại có : \(BH\le BM;CK\le CM\)
\(\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}\le\frac{BM.CM}{bc}\le\frac{\frac{\left(BM+CM\right)^2}{4}}{bc}=\frac{\frac{BC^2}{4}}{bc}=\frac{a^2}{4bc}\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\) (đpcm)
cho a, b, c lần lượt là độ dai cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC.
a) chứng minh rằng \(\sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
b) chưng minh rằng \(\sin\frac{A}{2}.\sin\frac{B}{2}.\sin\frac{C}{2}\le\frac{1}{8}\)
c)đường cao AD, BE cắt nhau ở H. chứng minh \(AD.HD\le\frac{BC^2}{4}\)
minh biet lam cau b)
ke phan giac AD , BM vuong goc AD , CN vuong goc AD
sin \(\frac{A}{2}\) =\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\)
ma BM\(\le BD,CN\le CD\Rightarrow BM+CN\le BC\)
=> sin \(\frac{A}{2}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{a}{b+c}\)
dau = xay ra <=> AD vuong goc BC => AD la duong phan giac ,la duong cao => tam giac ABC can tai A => AB=AC => b=c
tương tự sin \(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c};sin\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)
=>\(sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{a\cdot b\cdot c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)
ap dung cosi cjo 2 so duong b+c\(\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ac};a+b\ge2\sqrt{ab}\)
=> \(\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge8abc\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
dau = xay ra <=> a=b=c hay tam giac ABC deu
các bạn giúp mình với:
cho a, b, c lần lượt là độ dài cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC.
a) chứng minh \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
b) chứng minh \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\sin\frac{\widehat{B}}{2}.\sin\frac{\widehat{C}}{2}\le\frac{1}{8}\)
c) đường cao AD, BE cắt nhau ở h. chứng minh \(AH.HD\le\frac{BC^2}{4}\)
Cho tam giác ABC có a, b, c là độ dài các cạnh BC, AC, Ab. Chứng minh rằng: sin \(\frac{A}{2}\)< hoặc = \(\frac{a}{b+c}\)
Do mình chưa học lớp 9, nên không thể giải bài của bạn. Mình có tìm trên mạng và đã tìm được lời giải này cho bạn. Thực mình không hiểu đâu, mong bạn thông cảm.
Nguồn : http://diendantoanhoc.net/topic/81625-sinfraca2leq-fraca2sqrtbc/
Mình sử dụng công thức \(S=\frac{AB.AC.Sin_A}{2}.\).
Vẽ tia phân giác AD của góc A.Đặt \(l=AD\)
\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\)
\(=\frac{cl.Sin_{\frac{A}{2}}}{2}+\frac{bl.Sin_{\frac{A}{2}}}{2}\)
\(=\frac{l.Sin_{\frac{A}{2}}\left(b+c\right)}{2}\)
Mặt khác \(S_{ABC}\le\frac{al}{2}\)
\(\Leftrightarrow Sin_{\frac{A}{2}}\le\frac{a}{b+c}\left(\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\right)\) :)
Cho a,b,c lần lượt là độ dài cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC.
CMR: Sin\(\frac{A}{2}\)\(\le\)\(\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
Cho tam giác ABC có \(\frac{\sin B+2018\sin C}{2018\cos B+\cos C}=\sin A\)và độ dài các cạnh là các số tự nhiên. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác MBG có diện tích là một số tự nhiên
LÀM HỘ MK NHA!!!
THANKS!!!
Đặt \(m=2018,\frac{\sin B+m\sin C}{m\cos B+\cos C}=\sin A\Leftrightarrow b+mc=a\left(m\cos B+\cos C\right)\)
\(\Leftrightarrow b+mc=\frac{m\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\)
\(\Leftrightarrow2bc\left(b+mc\right)=mb\left(a^2+c^2-b^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2b^2c+2mbc^2=mba^2+mbc^2-mb^3+ca^2+cb^2-c^3\)
\(\Leftrightarrow\left(c+mb\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)=0\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\)
Vậy tam giác ABC vuông tại A
Dễ dàng CM được \(S_{ABC}=6.S_{MBG}\Rightarrow bc=12.S_{MBG}\).Do vậy ta cần CM bc chia hết cho 12
( ta sử dụng tính chất của số chính phương)
- Số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1
- Số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1
- Số chính phương lẻ chia 8 chỉ dư 1
*) Ta thấy trong 2 số \(b^2,c^2\)có ít nhất 1 số chia hết cho 3. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 3. Khi đó mỗi số đều chia 3 dư 1. Do đó a2 chia 3 dư 2 ( trái với tính chất số chính phương)
Do 3 là số nguyên tố nên trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 3 . (1)
*)Chứng minh trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 4. Khi đó \(b=4m+r;c=4n+q;r,q\in\left\{1;2;-1\right\}\)
+ Nếu \(r,q\in\left\{1;-1\right\}\Rightarrow a^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)
+ Nếu \(r\in\left\{-1;1\right\},q=2\) hoặc ngược lại thì a2 là số lẻ và a2 chia 8 dư 5 ( vô lý)
+ Nếu r=q=2 thì \(a^2=4\left(2m+1\right)^2+4\left(2n+1\right)^2\Rightarrow\)a chẵn
Đặt \(a=2p\Rightarrow p^2=\left(2m+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2\Rightarrow p^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)
Vậy trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
(Định lý sin) Cho tam giác nhọn ABC có BC = a, AC = b, AB = c và nội tiếp đường tròn (O ; R). Chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{\sin{A}}=\dfrac{b}{\sin{B}}=\dfrac{c}{\sin{C}}=2R$.
\(S_{ABC}=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=\frac{abc}{4R}\)
+ Từ \(\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}\Rightarrow b\sin A=a\sin B\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\left(1\right)\)
+ Từ \(\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}\Rightarrow c\sin B=b\sin C\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(2\right)\)
+ Từ \(\frac{bc\sin A}{2}=\frac{abc}{4R}\Rightarrow\sin A=\frac{a}{2R}\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=2R\left(3\right)\)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\left(dpcm\right)\)
Từ A kẻ đường cao AH (H thuộc BC) , Từ B kẻ đường cao BK (K thuộc AC)
Ta có : ; ;
;
(1)
Lại có :
(2)
Từ (1) và (2) ta có : (Đpcm)
Kẻ đường kính BD.
ta có góc A = góc D ( góc nội tiếp chắn cung BC)
=> sinA = sin D
có tam giác BCD vuông tại C => sinD = BD/BC
=> sinA = 2R/a
=> a/sinA=2R
CMTT ta có b/sinB =2R
c/sinC=2R
do đó a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R