cho 1 tick, mình giải chi tiết cho, mình học dạng này rồi, dẽ cực lun, có gì lien hệ nah

=> |x| + 2003 = y;

|y| + 2003 = z;

|z| + 2003 = x

Cộng vế với vế ta được: (|x| + |y| + |z|) + (2003 + 2003 + 2003) = x+ y + z => x + y + z > |x| + |y| + |z|  (*)

Nhận xét: |x| > x; |y| > y ; |z| > z => |x| + |y| + |z| > x+ y + z với mọi x; y ; z =>  (*) không thể xảy ra.

Vậy không có giá trị x; y ;z nào thỏa mãn yêu cầu.

|x|=y-2003

=>x=y-2003 hoặc x=2003-y

nên |z|=y-2003-2003=y-0=y

nên z=y hoặc z=-y

nên |y|=y-2003 nên y=y-2003 hay y=2003-y

do đó, x=y nên x-y=0(1)

y=z(2) nên y-z=0(3) ;nên x=y=z(4)  

Từ(1);(2);(3) => x-z=0 nên x-y=y-z

x-y-(y-z)=0

x+z=0

mà x-z=0 nên x=0;z=0 nên y cũng bằng 0

Vậy x=y=z=0

0, tic cho tuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Lời giải:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z(x+y+z)}=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z(x+y+z)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{z(x+y+z)+xy}{xyz(x+y+z)}=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{z(y+z)+x(z+y)}{xyz(x+y+z)}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x+y)(z+x)(z+y)}{xyz(x+y+z)}=0\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=-y\\ y=-z\\ z=-x\end{matrix}\right.\)

Không mất tổng quát, giả sử \(x=-y\):

\(\frac{1}{x^{2003}}+\frac{1}{y^{2003}}+\frac{1}{z^{2003}}=\frac{1}{(-y)^{2003}}+\frac{1}{y^{2003}}+\frac{1}{z^{2003}}=\frac{1}{z^{2003}}\)

\(\frac{1}{x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}}=\frac{1}{(-y)^{2003}+y^{2003}+z^{2003}}=\frac{1}{z^{2003}}\)

Do đó: \(\frac{1}{x^{2003}}+\frac{1}{y^{2003}}+\frac{1}{z^{2003}}=\frac{1}{x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}}\) (đpcm)

\(x;y;z\ne0\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\xy=-z\left(x+y+z\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\xy+xz+yz+z^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\\left(x+z\right)\left(y+z\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\x=-z\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=-y\Rightarrow\frac{1}{x^{2003}}+\frac{1}{y^{2003}}+\frac{1}{z^{2003}}=\frac{1}{-y^{2003}}+\frac{1}{y^{2003}}+\frac{1}{z^{2003}}=\frac{1}{z^{2003}}\)

\(\frac{1}{x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}}=\frac{1}{-y^{2003}+y^{2003}+z^{2003}}=\frac{1}{z^{2003}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^{2003}}+\frac{1}{y^{2003}}+\frac{1}{z^{2003}}=\frac{1}{x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}}\)

2 trường hợp còn lại tương tự

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

(x+y+z)(xy+yz+xz)=xyz

google seach

ta suy ra

(x+y)(y+z)(z+x)=0

\(x=-y\) 

\(\frac{1}{x^{2003}}+\frac{1}{y^{2003}}+\frac{1}{z^{2003}}=\frac{1}{-y^{2003}}+\frac{1}{y^{2003}}+\frac{1}{z^{2003}}=\frac{1}{z^{2003}}\)

\(\frac{1}{x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}}=\frac{1}{-y^{2003}+y^{2003}+z^{2003}}=\frac{1}{z^{2003}}\)

suy ra \(\frac{1}{x^{2003}}+\frac{1}{y^{2003}}+\frac{1}{z^{2003}}=\frac{1}{x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}}\)

Làm tương tự với các TH x= -z và y= -z

Từ đó ta được điều phải cm

\(\dfrac{xy+xz+yz}{xyz}=\dfrac{1}{x+y+z}\)

\(\left(xy+xz+yz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(x^2y+xy^2+xyz+x^2z+xyz+xz^2+xyz+y^2z+z^2y=xyz\)

\(x^2\left(y+z\right)+xy\left(y+z\right)+xz\left(z+y\right)+yz\left(y+z\right)=0\)

\(\left(y+z\right)\left[x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)\right]=0\)

\(\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)=0\)

\(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\z=-x\\y=-z\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x^{2003}}+\dfrac{1}{y^{2003}}+\dfrac{1}{z^{2003}}=\dfrac{1}{z^{2003}}=\dfrac{1}{x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}}\)