Các giải của các bài toán này là sử dụng tổng các delta em nhé

a) ax^2 + bx + c = 0 

Để phương trình thỏa mãn điều kiện có 2 nghiệm dương phân biệt. 

∆ > 0 
=> b^2 - 4ac > 0 

x1 + x2 = -b/a > 0 
=> b và a trái dấu 

x1.x2 = c/a > 0 
=> c và a cùng dấu 

Từ đó ta xét phương trình cx^2 + bx^2 + a = 0 

∆ = b^2 - 4ac >0 

x3 + x4 = -b/c, vì a và c cùng dấu mà b và a trái dấu nên b và c trái dấu , vì vậy -b/c >0 

x3.x4 = a/c, vì a và c cùng dấu nên a/c > 0 

=> phương trình cx^2 + cx + a có 2 nghiệm dương phân biệt x3 và x4 

Vậy nếu phương trình ax^2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình cx^2 + bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dương phân biệt. 

b) Ta có, vì x1, x2, x3, x4 không âm, dùng cô si. 

x1 + x2 ≥ 2√( x1.x2 ) 
x3 + x4 ≥ 2√( x3x4 ) 

=> x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 2[ √( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ] (#) 

Tiếp tục côsi cho 2 số không âm ta có 

√( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ≥ 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] (##) 

Theo a ta có 

x1.x2 = c/a 
x3.x4 = a/c 

=> ( x1.x2 )( x3.x4 ) = 1 

=> 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] = 2 

Từ (#) và (##) ta có đúng k bn

Ta có:

\(\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3=a^2-4b+b^2-4c+c^2-4a=a^2+b^2+c^2-48\)

Dễ thấy:\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=48\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3\ge0\)

Khi đó có ít nhất một phương trình có nghiệm

còn c/m vô nghiệm thế nào z

Ý tưởng như sau:

\(x^2+ax+1=0\) và \(x^2+bx+c=0\) là 2 pt có nghiệm chung nên hệ pt sau có nghiệm (nhận xét quan trọng):

\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+1=0\\x^2+bx+c=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)x=c-1\\x^2+ax+1=0\end{cases}}\)

Do \(a\ne b\) nên thay \(x=\frac{c-1}{a-b}\) xuống pt dưới được: \(\left(\frac{c-1}{a-b}\right)^2+\frac{a\left(c-1\right)}{a-b}+1=0\)

Hay \(\left(c-1\right)^2+a\left(c-1\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2=0\)

-----

\(x^2+x+a=0\) và \(x^2+cx+b=0\) có nghiệm chung thì hệ pt sau có nghiệm:

\(\hept{\begin{cases}x^2+x+a=0\\x^2+cx+b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(c-1\right)x=a-b\\x^2+x+a=0\end{cases}}}\)

Do \(a\ne b\) nên \(c\ne1\), thay \(x=\frac{a-b}{c-1}\) xuống pt dưới được:

\(\left(\frac{a-b}{c-1}\right)^2+\frac{a-b}{c-1}+a=0\) hay \(\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)\left(c-1\right)+a\left(c-1\right)^2=0\)

-----

Đặt \(x=a-b,y=c-1\)

Ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}x^2+axy+y^2=0\\x^2+xy+ay^2=0\end{cases}\Rightarrow\left(a-1\right)xy=\left(a-1\right)y^2}\)

Nhớ rằng \(a=1\) không xảy ra vì khi đó \(x^2+ax+1=0\) vô nghiệm.

Vậy \(a\ne1\), do \(y\ne0\) nên \(x=y\). Tức là \(a-b=c-1\).

Tới đây quay lại mấy cái nghiệm chung sẽ thấy các nghiệm chung đều là \(1\).

Mà như vậy thì \(b+c=-1,a=-2\) nên \(a+b+c=-4\)

bt đc chết liền

a.

\(f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=1\Rightarrow f\left(1\right)=0\)

\(\Rightarrow1-2\left(m-2\right)+m+10=0\)

\(\Rightarrow m=15\)

Khi đó nghiệm còn lại là: \(x_2=\dfrac{m+10}{x_1}=\dfrac{25}{1}=25\)

b.

Pt có nghiệm kép khi: \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m+10\right)=0\)

\(\Rightarrow m^2-5m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=6\end{matrix}\right.\)

Với \(m=-1\) nghiệm kép là: \(x=-\dfrac{b}{2a}=m-2=-3\)

Với \(m=6\) nghiệm kép là: \(x=-\dfrac{b}{2a}=m-2=4\)

c.

Pt có 2 nghiệm âm pb khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-5m-6>0\\x_1+x_2=2\left(m-2\right)< 0\\x_1x_2=m+10>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>6\end{matrix}\right.\\m< 2\\m>-10\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-10< m< -1\)

d.

\(f\left(x\right)< 0;\forall x\in R\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1< 0\left(\text{vô lý}\right)\\\Delta'=m^2-5m-6< 0\end{matrix}\right.\) 

Không tồn tại m thỏa mãn

1C 2D 3A =))