Biến đổi bt tương đương : (x^2-1)/2 =y^2 
Ta có: vì x,y là số nguyên dương nên 
+) x>y và x phải là số lẽ. 
Từ đó đặt x=2k+1 (k nguyên dương); 
Biểu thức tương đương 2*k*(k+1)=y^2 (*); 
Để ý rằng: 
Y là 1 số nguyên tố nên y^2 sẽ là 1 số nguyên dương mà nó có duy nhất 3 ước là : 
{1,y, y^2} ; 
từ (*) dễ thấy y^2 chia hết cho 2, dĩ nhiên y^2 không thể là 2, vậy chỉ có thể y=2 =>k=1; 
=>x=3. 
Vậy ta chỉ tìm được 1 cặp số nguyên tố thoả mãn bài ra là x=3 và y=2 (thoả mãn).

ta thấy \(2y^2+1\)là số lẻ \(\Rightarrow x^2\)là số lẻ\(\Rightarrow\)x là số lẻ nên x=2k+1 với k là số tự nhiên khác 0.\(\Rightarrow2y^2+1=\left(2k+1\right)^2\Leftrightarrow2y^2+1=4k^2+4k+1\)\(\Rightarrow2y^2=4\left(k^2+k\right)\Rightarrow y^2=2\left(k^2+k\right)\)\(\Rightarrow\)y chẵn \(\Rightarrow\)y=2 \(\Rightarrow\)x=3

x2-2y2=1

=>x2-1=2y2

=>x2-12=2y2

=>(x-1)(x+1)=2y2=y.2y

+)(x-1)(x+1)=2y2

=>x-1=2 và x+1=y2

=>x=3 và x+1=y2

Có x=3,thay vào x+1=y2=>3+1=y2=>y2=4=>y E {-2;2},Mà y là số nguyên tố=>y=2

+)(x-1)(x+1)=y.2y

=>x-1=y và x+1=2y

=>x=y+1 và x+1=2y

Có x=y+1,thay vào x+1=2y => (y+1)+1=2y=>y+2=2y=>2y-y=2=>y=2

do đó x=2+1=>x=3

Vậy tất cả cặp số nguyên tố (x;y) thỏa mãn đề bài là (3;2)

a) x-2xy+y=0

=> x-(2xy-y)=0

=> x- y(2x-1)=0

=> 2x-2y(2x-1)=0

=>( 2x-1) -2y(2x-1)=-1

=> (2x-1)(1-2y)=-1

=> ( 2x-1 ; 1-2y ) = ( -1 ;1 ) ; (1;-1 )

=> (x;y)=( 0 ; 0 ) ; ( 1;1)

b) x² - 2y² = 1

=> x² - 1 = 2y² => (x - 1).(x + 1) = 2y² (1)

Xét tổng (x - 1) + (x + 1) = 2x là số chẵn => x - 1 ; x + 1 cùng tích chẵn hoặc lẻ. (2)

Từ (1), (2) => x - 1; x + 1 cùng là số chẵn.

=> (x - 1).(x + 1) là số chẵn <=> 2y² là số chẵn <=> y² là số chẵn.

Mà y là số nguyên tố => y = 2. Khi đó x = 1 + 2.2² = 9 => x = 3

                                Vậy x = 3 và y = 2

x²-2y²=1

=>x²=2y²+1

=> x² lẻ=>x=2k+1

=>4k²+4k+1=1+2y²=>2y² chia hết cho 4=> y=2

=>x=3

ta có :

x-2xy+y=0

2x-4xy+2y=0.2 (nhân 2 vế với 2 ) 

2x-4xy+2y-1=0-1 ( trừ 2 vế cho 1 )

2x-4xy+2y-1 = -1

(2y-1)-4xy-2x=-1

(2y-1)-2x.(2y-1)=-1

(2y-1).(1-2x)=-1

xét 2 TH 1; 2y-1=1 thì 1-2x=-1

th2 2y-1=-1 thì 1-2x=1

d. Câu hỏi của Black - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Lời giải:

Ta thấy $n,n-3$ khác tính chẵn lẻ nên $n(n-3)$ chẵn 

$\Rightarrow n^2-3n+1$ lẻ. Do đó:

$25\equiv -1\pmod{13}$

$\Rightarrow 25^{n^2-3n+1}\equiv (-1)^{n^2-3n+1}\equiv -1\pmod {13}$

$\Rightarrow 25^{n^2-3n+1}-12\equiv -13\equiv 0\pmod {13}$

Vậy $25^{n^2-3n+1}-12$ luôn chia hết cho $13$ với mọi $n$ nguyên dương 

Do đó để nó là snt thì $25^{n^2-3n+1}-12=13$

$\Leftrightarrow n^2-3n+1=1$

$\Leftrightarrow n(n-3)=0$

$\Leftrightarrow n=3$ (do $n$ nguyên dương)