Em kiểm tra đề là \(\dfrac{y^2}{4}\) hay \(\dfrac{y^4}{4}\)

Nếu đề đúng là \(\dfrac{y^4}{4}\) thì có thể coi như là không giải được

\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)+\left(x^2-xy+\dfrac{y^2}{4}\right)+xy=2\)

\(\Leftrightarrow2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+xy\ge xy\)

\(\Rightarrow P_{max}=2023\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\x-\dfrac{y}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right);\left(1;2\right)\)

\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)+\left(x^2+xy+\dfrac{y^2}{4}\right)-xy=2\)

\(\Rightarrow2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2-xy\ge-xy\)

\(\Rightarrow xy\ge-2\Rightarrow P\ge2019\)

\(P_{min}=2019\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\x+\dfrac{y}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-1;2\right);\left(1;-2\right)\)

1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).

2.

\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)

\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )

\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)

\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)

3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng Cô-si, ta được: \(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=\left(a^2+\frac{b^2}{4}\right)+\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\ge\left|ab\right|+2\Rightarrow\left|ab\right|\le2\)hay \(-2\le ab\le2\)(/*)

\(\Rightarrow S=ab+2009\ge2007\)

Đẳng thức xảy ra khi a = -1; b = 2 hoặc a = 1; b = -2

* Chú ý: Với đánh giá (/*) thì ta còn tìm được GTLN của S = 2011 khi a = 1; b = 2 hoặc a = 2; b = 1 hoặc a = -1; b = -2 hoặc a = -2; b = -1

,

Ngắn gọn thì đây là 1 bài toán không giải được (min max tồn tại, nhưng không thể tìm được)

Cực trị xảy ra tại \(x=\dfrac{a}{b}\) là nghiệm của pt bậc 4:

\(7x^4+11x^3-3x^2-4x-2=0\)

Là một pt không thể phân tích về các pt bậc thấp hơn

Nếu sửa đề thế này thì có thể quy về 1 biến khá đơn giản:

\(3-ab=a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow ab\le1\)

\(3-ab=a^2+b^2\ge-2ab\Rightarrow ab\ge-3\)

\(\Rightarrow-3\le ab\le1\)

\(P=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2-ab=\left(3-ab\right)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2-7ab+9\)

Đặt \(ab=x\Rightarrow-3\le x\le1\)

\(P=-x^2-7x+9=\left(-x^2-7x+8\right)+1=1+\left(1-x\right)\left(x+8\right)\ge1\)

\(P=\left(-x^2-7x-12\right)+21=21-\left(x+3\right)\left(x+4\right)\le21\)

Tính ra a+b+c<=4 nhé (dùng Bu-nhi-a cop-xki)

Phần còn lại tự xử nhé)

là sao zay ah???

1,\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=\)

\(=10\left(a^2-2ab+b^2\right)+10\left(a^2+b^2\right)\)

\(\ge10\left(a-b\right)^2+5.\left(a+b\right)^2\ge0+5.20^2=2000\)

2,a,\(\sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-2}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+b-2\sqrt{b-1}+c-2\sqrt{c-2}=0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+1+b-1-2\sqrt{b-1}+1+c-2+2\sqrt{c-2}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{c-2}-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)

b,sai đề

Xét \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow10\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow100\ge ab\)

\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left[a^2+2ab+b^2-3ab\right]=20\left(20\right)^2-6ab\)

\(T\ge20.20^2-6.100=7400\)

b. \(1=\left(a+2b\right)^2\ge4.a.2b=8ab\)

\(\Rightarrow ab\le\frac{1}{8}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\);\(b=\frac{1}{8}\)