Với \(a+b+c\ge1\) a, b, c >0
CMR: \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2bc}\ge9\)
Làm cách trâu bò nhất hộ em ạ, em đang tập làm Co si thoi, chỉ làm được mấy cách cơ bản thoi ạ, mong mấy pro giúp em~
Với a+b+c\(\ge1\) a, b, c >0
CMR: \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ba}\ge9\)
Làm cách trâu bò nhất hộ em ạ T.T
Hay thoi chứ để là \(a+b+c\le1\) đy, vì thấy ai cũng bảo đề sai nên sửa đề là vậy đi ạ '-'. Còn nếu pro nào là làm được cái đề gốc kia thì xin giải hộ em ạ T.T
Thầy tao làm như nào tao chép lại y nguyên nhá :)
Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1/3
Áp dụng bất đẳng thức Cô si :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+9\left(a^2+2bc\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2+2bc}\cdot9\left(a^2+2bc\right)}=6\)
TT : \(\frac{1}{b^2+2ac}+9\left(b^2+2ac\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2+2ac}\cdot9\left(b^2+2ac\right)}=6\)
\(\frac{1}{c^2+2ab}+9\left(c^2+2ab\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2+2ab}\cdot9\left(c^2+2ab\right)}=6\)
Cộng theo vế ta có :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}+9\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)\ge18\)
<=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}+9\left(a+b+c\right)^2\ge18\)
<=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}+9\ge18\)
<=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3
Có thế sử dụng Cauchy - Schwarz dễ hiểu hơn
Ta có: \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=0\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1/3
Cách CM BĐT:
Xét: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) luôn đúng
Áp dụng vào ta có thể CM được: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{x+y}\ge\frac{\left(2+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z\)
CMR: Với mọi a, b, c >0 thì
\(\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge8\)
Dùng BĐT Cô si ạ, và em mong mấy pro giải theo cách trâu bò nhất cho em với ạ, em mới học được mấy bài mà mấy pro làm nó cao siêu quá(đối với em) em không hiểu được ạ:((
Vì a, b, c > 0
=> a/b > 0 ; b/c > 0 ; c/a > 0
Áp dụng bđt Cauchy cho :
Bộ số a/b, 1 ta được :\(\frac{a}{b}+1\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot1}=2\sqrt{\frac{a}{b}}\)(1)
Bộ số b/c, 1\(\frac{b}{c}+1\ge2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot1}=2\sqrt{\frac{b}{c}}\)(2)
Bộ số c/a, 1\(\frac{c}{a}+1\ge2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot1}=2\sqrt{\frac{c}{a}}\)(3)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế
=> \(\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot2\sqrt{\frac{b}{c}}\cdot2\sqrt{\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=1\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
à nhầm tí :v \(8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=8\cdot1=8\)nhé ._.
CMR: Với mọi a, b, c >0 thì
\(\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)8\ge\)
Dùng BĐT Cô si ạ, và em mong mấy pro giải theo cách trâu bò nhất cho em, em mới học được mấy bài mà mấy pro làm nó cao siêu quá(đối với em) em không hiểu được ạ~
Với \(a+b+c\le1\) và a, b, c >0
CMR:\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ba}\ge9\)
ĐK:\(a+b+c\le1|a,b,c>0\)
Chỉ có TH \(a=b=c=\frac{1}{3}\)\(\Rightarrow TH:a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}+\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}+\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}\ge9\)\(=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2\left(\frac{1}{3}\right)^2}3\ge9\)\(=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(2+1\right)}3\ge9\)\(=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2.3}3\ge9\)\(=\frac{1}{\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.3}3\ge9\)\(=\frac{1}{\frac{1}{3}}3\ge9\)\(=\frac{3}{\frac{1}{3}}\ge9\)\(=3:1:3\ge9\)\(=1\ge9\)( loại )
Vậy không thể CMR \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ba}\ge9\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1/3
Cho \(a,b,c>0\) và \(a+b+c=1\) CMR \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) với \(x=a^2+2bc;y=b^2+2ac;z=c^2+2ab\)
Ta có : \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)( Vì a + b + c = 1)
Cho \(a+b+c=1\) CMR: \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}=9\left(đpcm\right)\)
shitbo
Làm như vầy là sai nha em
Theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
CM: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\left(1\right)\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\left(2\right)\)
Lấy (1) nhân (2) ta được:
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)(*)
Từ (*) ta có: \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\left(đpcm\right)\)
Cho a,b,c thuộc R CMR \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge1\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)=1
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Cho a,b,c>0. CM: \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge1\)
Áp dụng Bunhiacopxki dạng phân thức:
VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\) = 1
Cho a,b,c lớn hơn 0 và\(a+b+c\le1\)
CM; \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ca+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9.\)