Chị sợ e kh hỉu nên chỵ làm dài dòng xíu nha. em hỉu r thi thu gọn lại bỏ bớt mấy chỗ k cần thiết
1. Vì p nguyên tố và p>3 => p không chia hết cho 3 => p=3k+1 hoặc p=3k+2
Nếu p = 3k+1 =>(p-1).(p+1) =(3k+1-1).(3k+1+1)= 3k(3k+2) 
Vì 3k chia hết 3 => 3k(3k+2) chia hết cko 3. Hay(p-1).(p+1) ckia hết cho 3 (1)
Tương tự p=3k+2 =>p+1 = 3k+3 chia hết cho 3 =)( p-1)(p+1) chia hết cho 3 (2)
từ (1),(2) => (p-1)(p+1) chia het cho 3
Vì p nto và p >3 => p lẻ => p = 2h+1
Ta có (p-1).(p+1)= (2h+1-1)(2h+1+1)= 2h(2h+2)
Mà 2h và 2h+1 là tích 2 số chẵn liên tiếp => 2h(2h+2) chia hết cho 8
Mà (3,8)=1 => (p-1)(p+1) chia hết cho 24

#)Giải :

Ta có : \(6x+11y⋮31\)

\(\Rightarrow6x+11y+31y⋮31\)

\(\Rightarrow6x+42y⋮31\)

\(\Rightarrow6\left(x+7y\right)⋮31\)

Mà (6;31) = 1 \(\Rightarrow\)y + 7y chia hết cho 31 (đpcm)

Ngược lại thì tương tự thui bạn, và điểu này thì vẫn đúng nhé !

bạn có thể chứng minh điều ngược lại được không ạ

đúng đó bạn ơn, chứng minh hộ cho mik vs

Giả sử (x;p) = 1 thì ta thấy (y,p) = 1

Ta có: \(x^2\equiv-y^2\left(mod\text{ p}\right)\)  

\(\Leftrightarrow x^{4k+2}\equiv-y^{4k+2}\left(mod\text{ p}\right)\)

\(\Leftrightarrow1\equiv-1\left(mod\text{ p}\right)\)(Định lí Fermat)

Do đó \(\left(x;p\right)\ne1\Rightarrow x⋮p\)và dễ thấy \(y⋮p\)(Đpmcm)

Ta có: \(-x+2y⋮3\)

\(\Rightarrow5\left(-x+2y\right)⋮3\)

hay \(-5x+10y⋮3\)

Ta có \(5x+8y+\left(-5x\right)+10y\)

\(=18y⋮3\)(vì \(18⋮3\))

\(\Rightarrow5x+8y+\left(-5x\right)+10y⋮3\)

Mà \(\left(-5x\right)+10y⋮3\)

\(\Rightarrow5x+8y⋮3\)

Vậy \(5x+8y⋮3\Leftrightarrow-x+2y⋮3\)

Mình có cùng ý kiến với Dương Quân Hảo

2.

Nếu 3 số x,y,z chia 3 khác số dư thì x+y+z chia hết cho 3
và (x-y),(y-z),(z-x) không chia hết cho 3
hay (x-y)(y-z)(z-x) không chia hết cho 3
=> (1) vô lí

+,Nếu trog 3 số 2 số có cùng số dư thì giả sử y,z cùng dư; x khác dư
khi đó x+y+z không c/h cho 3 ;
x-y và z-x không chia hết cho 3; y-z chia hết cho 3
=>(x-y).(y-z).(z-x) chia hết cho 3

=> (1) vô lí

Tóm lại 3 số x,y,z chia 3 cùng dư
khi đó (x-y),(y-z),(z-x) cùng chia hết cho 3
=> đpcm

a : 3 dư 2 hoặc 1

b : 3 dư 2 hoặc 1

{(2.2), (2.1), (1.1), (1.2)} : 2 luôn dư 1

=> (a.b -1) \(⋮\)3

a : 3 dư 2 hoặc 1

b : 3 dư 2 hoặc 1

[(2.2); (1.1)] : 3 luôn dư 1

=> (a.b -1) \(⋮\)3