S =  5 + 5² + 5³ + ......... + 5²⁰⁰⁶

5S = 5² + 5³ + 5⁴ + .......... + 5²⁰⁰⁷

5S - S = ( 5² + 5³ + 5⁴ + .......... + 5²⁰⁰⁷) - (  5 + 5² + 5³ + ......... + 5²⁰⁰⁶ ) 

4S = 5²⁰⁰⁷ - 5

S = \(\frac{5^{2007}-5}{4}\)

a)\(S=5+5^2+5^3+.....+5^{2006}\Rightarrow5S=5^2+5^3+5^4+\)\(....+5^{2007}\)

\(\Rightarrow5S-S=\left(5^2+5^3+5^4+....+5^{2007}\right)-\left(5+5^2+5^3+.....+5^{2006}\right)\)

\(\Rightarrow4S=5^{2007}-5\Rightarrow S=\frac{5^{2007}-5}{4}\)

\(a.S=5+5^2+5^3+......+5^{2006}\)
\(S=\left(5+5^2+5^3+5^4+5^5+5^6\right)+.....+\left(5^{2001}+5^{2002}+.....+5^{2006}\right)\)

\(S=5.\left(1+5+5^2+5^3+5^4+5^5\right)+......+5^{2001}\left(1+5+5^2+5^3+5^4+5^5\right)\)

\(S=5.3906+........+5^{2001}.3906\)

\(S=3906\left(5+....+5^{2001}\right)\)

\(b.S=3906\left(5+....+5^{2001}\right)\)

\(S=126.3\left(5+....+5^{2001}\right)\)

\(\Rightarrow\text{S chia hết cho 126}\)

S= 5+5^2+5^3+...........+5^99+5^100

=(5+5²)+(5³+5⁴)+....+(5⁹⁹+5¹⁰⁰)2

=1.(5+5²)+(5.5²+5².5²)+...+(5⁹⁸.5+5⁹².5²)

=1.(5+5²)+5².(5+5²)+...+5⁹⁸.(5+5²)

=1.30+5².30+...+5⁹⁸.30

=30.(1+5²+...+5⁹⁸)

=>S chia het cho 30

Ta viết 10^28=10000......0

Vì 10^28 chia hết cho 8 ; 8 chia hết cho 8 =>10^28+8 chia hết cho 8

Vì 10^28 có tổng các chữ số là 1 ; 8 có tổng các chữ số là 8 =>10^28+8 sẽ có tổng các chữ số là 9=>10^28+8 chia hết cho 9

Mà các số vừa chia hết cho 9;8 thì chia hết cho 72=>10^28+8 chia hết cho 72

cho S = 1+3+3²+ 3^{3 +} 3⁴ + .......+ 3⁹⁹

Tổng S có tổng cộng 100 số hạng

S = 1+3+3²+ 3^{3 +} 3⁴ + .......+ 3⁹⁹ 

= (1+3) +(3²+ 3³) + (3⁴ +3⁵) .......(3⁸⁸+ 3⁹⁹ )  có 50 nhóm

= 4 + 3².(1+3)+3⁴(1+3)+........+3⁸⁸(1+3)

= 4+ 3².4+3⁴.4+........+3⁸⁸.4

= 4 (1+ 3²+3⁴+........+3⁸⁸) chia hết cho 4

b)

= (1+3 + 3²+ 3³) + (3⁴ +3⁵+3⁶+3⁷) .......(3⁸⁶+3⁸⁷+3⁸⁸+ 3⁹⁹ )  có 100:4 = 25 nhóm

=  (1+3 + 3²+ 3³) + 3⁴.(1+3 + 3²+ 3³) .......3⁸⁶.(1+3 + 3²+ 3³) 

=  40+ 3⁴.40 .......3⁸⁶.40

= 40 ( 1 +3⁴+ 3⁸+....+3⁸⁶) chia hết cho 40

= 4+ 3².4+3⁴.4+........+3⁸⁸.4

= 4 (1+ 3²+3⁴+........+3⁸⁸) chia hết cho 4