1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)

Đk: tự xác định

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x+3}-\left(\frac{1}{3}x+1\right)+\sqrt{6-x}-\left(-\frac{1}{3}x+2\right)-\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+3-\left(\frac{1}{3}x+1\right)^2}{\sqrt{x+3}+\frac{1}{3}x+1}+\frac{6-x-\left(-\frac{1}{3}x+2\right)^2}{\sqrt{6-x}-\frac{1}{3}x+2}-\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\frac{1}{9}\left(x+3\right)\left(x-6\right)}{\sqrt{x+3}+\frac{1}{3}x+1}+\frac{-\frac{1}{9}\left(x+3\right)\left(x-6\right)}{\sqrt{6-x}-\frac{1}{3}x+2}-\frac{\left(x+3\right)\left(x-6\right)}{\sqrt{-\left(x+3\right)\left(x-6\right)}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-6\right)\left(\frac{-\frac{1}{9}}{\sqrt{x+3}+\frac{1}{3}x+1}+\frac{-\frac{1}{9}}{\sqrt{6-x}-\frac{1}{3}x+2}-\frac{1}{\sqrt{-\left(x+3\right)\left(x-6\right)}}\right)=0\)

Dễ thấy:\(\frac{-\frac{1}{9}}{\sqrt{x+3}+\frac{1}{3}x+1}+\frac{-\frac{1}{9}}{\sqrt{6-x}-\frac{1}{3}x+2}-\frac{1}{\sqrt{-\left(x+3\right)\left(x-6\right)}}< 0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+3=0\\x-6=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=6\end{cases}}\)

ĐKXĐ: \(-3\le x\le6\)

Đặt \(\sqrt{3+x}=a;\sqrt{6-x}=b\left(a,b\ge0\right)\),ta có

\(\hept{\begin{cases}a+b-ab=3\left(1\right)\\a^2+b^2=9\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a+2b-2ab=6\\\left(a+b\right)^2-2ab=9\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right)=3\Rightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right)-3=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b-3\right)\left(a+b+1\right)=0\)

Do \(a,b\ge0\)nên a+b+1>0

\(\Rightarrow a+b-3=0\)\(\Rightarrow a+b=3\)thay vào (1) ta được \(ab=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=3\\ab=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=3\end{cases}}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}a=3\\b=0\end{cases}}\)

Sau đó bn tự thay vào rồi giải tiếp nhé

ĐK: \(-3\le x\le6.\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{3+x}=a\\\sqrt{6-x}=b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2=9\\a+b-ab=3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2-2ab=9\\\left(a+b\right)-ab=3\end{cases}}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b=u\\ab=v\end{cases}\left(u,v\ge0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}u^2-2v=9\\u-v=3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}u^2-2u-3=0\\v=u-3\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}u=3\\v=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=3\\ab=0\end{cases}}}\)

Th1: \(\hept{\begin{cases}a=3\\b=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{3+x}=3\\\sqrt{6-x}=0\end{cases}\Rightarrow}x=6\left(tmđk\right).}\)

Th2: \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=3\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{3+x}=0\\\sqrt{6-x}=3\end{cases}\Rightarrow}x=-3}\left(tmđk\right).\)

Vậy x = 6 hoặc x = -3.

kết quả phương trình là x=6

sao đề nhìn bá vậy bạn ...

bài này chắc đặt \(\sqrt{x^3-3x+6}\)cho nó gọn thôi

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt[6]{x-3}=a\\\sqrt[6]{x-7}=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2-6ab=0\)

Dễ thây a  = 0 không là nghiệm.

Đặt \(b=ta\)

\(\Rightarrow a^2+t^2a^2-6ta^2=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-6t+1=0\)

Làm nôt