Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n- 2; n - 1; n ; n + 1; n + 2

Ta có : (n-2)² + (n-1)² + n² + (n+1)² + (n +2)² =  (n² - 4n + 4) + (n² - 2n + 1) + n² + (n² + 2n + 1)+( n² + 4n + 4) = 5n² + 10 = 5.(n² + 2)

 Ta có 5. (n² + 2) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 

vì n² + 2 không chia hết cho 5 (do n² có thể  tận cùng là 0;1;4;5;6;9 )

=> 5.(n² + 2) không là số chính phương => đpcm

Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1

Tổng bình phương của chúng là: A = (n-1)² + n² + (n+1) ² = 3n² + 2

Suy ra A chia 3 dư 2.

Xét bình phương của một số n.

+Nếu n = 3k thì n² = 3k²   ->   chia hết cho 3
+Nếu n = 3k+1 thì n² = (3k+1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k²+2k) + 1    ->  chia 3 dư 1
+Nếu n = 3k+2 thì n² = (3k+2)² = 9k² + 6k + 4 = 3(3k²+2k+1) + 1   ->  chia 3 dư 1 

Vậy một số chính phương chia 3 dư 1 hoặc không dư.

Mà A chia 3 dư 2 => A không phải là số chính phương.

Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1

Tổng bình phương của chúng là: \(A=\left(n-1\right)^2+n^2+\left(n+1\right)^2=3n^3+2\)

Suy ra A chia 3 dư 2.

Xét bình phương của một số n.

+Nếu n = 3k thì n² = 3k²   ->   chia hết cho 3
+Nếu n = 3k+1 thì n² = (3k+1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k²+2k) + 1    ->  chia 3 dư 1
+Nếu n = 3k+2 thì n² = (3k+2)² = 9k² + 6k + 4 = 3(3k²+2k+1) + 1   ->  chia 3 dư 1 

Vậy một số chính phương chia 3 chỉ dư 1 hoặc không dư.

Mà A chia 3 dư 2 => A không phải là số chính phương.

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a; a+1; a+2; a+3

\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)=\left(a^2+3a\right)^2+2.\left(a^2+3a\right)+1\)

\(=\left(a^2+3a+1\right)^2\) là số chính phương.

ta có : a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=a^3+a^3x1^3+a^3x2^3=a^3+a^3+a^3x8=a^3x(1+1+8)=a^3x10

dễ thì làm đi