a^3+b^3+ab=(a+b)(a^2+b^2-ab)+ab=a^2+b^2

mà 2(a^2+b^2)>=(a+b)²(vì a^2+b^2>=2ab)

\(\Rightarrow\)a^2+b^2>=1/2

\(S=\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{\dfrac{9}{4}}{3a^2b}+\dfrac{\dfrac{9}{4}}{3ab^2}+\dfrac{1}{4ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel có:

\(S\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\right)^2}{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}+\dfrac{1}{4ab}.\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow S\ge\dfrac{16}{\left(a+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}.\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow S\ge\dfrac{16}{1}+\dfrac{1}{1}.\dfrac{4}{1}=20\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Vậy GTNN của \(S=20\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Ta có

a³ + b³ + ab = (a + b)(a² - ab + b²) + ab

= a² + b²

Ta lại có 

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN là \(\frac{1}{2}\)đạt được khi a = b = \(\frac{1}{2}\)

\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)

\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)

Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)

\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)

\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)

\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)

\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị

thế bạn bt hok

\(B=a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

Với \(a+b=1\)ta có: \(B=a^2-ab+b^2+ab=a^2+b^2\)\

Từ \(a+b=1\)\(\Rightarrow b=1-a\)

\(\Rightarrow B=a^2+\left(1-a\right)^2=a^2+1-2a+a^2=2a^2-2a+1\)

\(=2\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2\left(a^2-2.\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)

\(=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)

Vì \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\)\(\Rightarrow2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall a\)

hay \(B\ge\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a-\frac{1}{2}=0\)\(\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow b=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(minB=\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

bài 5 nhé:

a) (a+1)²>=4a

<=>a²+2a+1>=4a

<=>a²-2a+1.>=0

<=>(a-1)²>=0 (luôn đúng)

vậy......

b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:

a+1>=\(2\sqrt{a}\)

tương tự ta có:

b+1>=\(2\sqrt{b}\)

c+1>=\(2\sqrt{c}\)

nhân vế với vế ta có:

(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)

<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)

<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)

vậy....

bạn nên viết ra từng câu

Chứ để như thế này khó nhìn lắm

bạn hỏi từ từ thôi

Bài 2:

Ta có: M = a²+ab+b² -3a-3b-3a-3b +2001

=> 2M = ( a² + 2ab + b²) -4.(a+b) +4 + (a² -2a+1)+(b² -2b+1) + 3996

2M= ( a+b-2)² + (a-1)² +(b-1)² + 3996

=> Min_M = 1998 tại a=b=1

Câu 3: 

Ta có: P= x² +xy+y² -3.(x+y) + 3

=> 2P = ( x² + 2xy +y²) -4.(x+y) + 4 + (x² -2x+1) +(y² -2y+1)

2P = ( x+y-2)² +(x-1)²+(y-1)²

=> Min_P = 0 tại x=y=1

Bài1:

Ta có: a²+ b²+c²+d²= a.(b+c+d)

=> a²+b²+c²+d² -ab -ac -ad =0

=> 4a²+ 4b²+4c²+4d²-4ab -4ac -4ad=0

=> ( a² - 4ab +4b²) + ( a²- 4ac + 4c²) +( a² -4ad+ 4d²) + a²=0

=> ( a-2b)² + ( a-2c)² + (a-2d)² + a² =0

=> ....

KL: a=b=c=d=0

\(A=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}\)

\(=a^2+b^2+c^2\)

Ez chưa :v

\(\text{Đặt}\)\(x=a+b\ge2\)

\(P=\frac{a^2+b^2+5}{a+b+3}=\frac{a^2+b^2+2.1+3}{a+b+3}=\frac{a^2+b^2+2ab+3}{a+b+3}=\frac{\left(a+b\right)^2+3}{a+b+3}=\frac{x^2+3}{x+3}\)

\(\Rightarrow P-\frac{7}{5}=\frac{x^2+3}{x+3}-\frac{7}{5}=\frac{\left(5x^2+15\right)-\left(7x+21\right)}{x+3}=\frac{\left(x-2\right).\left(5x+3\right)}{x+3}\ge0\)

\(\text{Vậy giá trị nhỏ nhất của}\)\(P=\frac{7}{5}\Rightarrow x=2\)

\(\Rightarrow a+b=2;ab=1\)

\(\Rightarrow a=b=1\)

\(P=a^2+b^2+\frac{5}{a+b+3}\left(a,b>0\right)\)..

\(P=\left(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{5^2}{a+b+3}\right)-\frac{20}{a+b+3}\).

Trước hết, ta chứng minh được:

\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\)với \(x,y,z\in R;m,n,p>0\)\(\left(1\right)\)(tự chứng minh).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{m}=\frac{y}{n}=\frac{z}{p}\).

Áp dụng bất đẳng thức \(\left(1\right)\)với \(a,b>0\), ta được:

\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{5^2}{a+b+3}\ge\frac{\left(a+b+5\right)^2}{1+1+a+b+3}=\frac{\left(a+b+5\right)^2}{a+b+5}\)\(=a+b+5\).

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\frac{5^2}{a+b+3}-\frac{20}{a+b+3}\ge a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\).

\(\Leftrightarrow P\ge a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\left(2\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{1}=\frac{b}{1}=\frac{5}{a+b+3}=\frac{a+b+5}{1+1+a+b+3}=1\).

\(\Leftrightarrow a=b=1\).

Vì \(a,b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\).

\(\Leftrightarrow a+b\ge2.\sqrt{1}=2.1=2\)(vì \(ab=1\)).

\(\Leftrightarrow a+b+3\ge5\).

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+3}\le\frac{1}{5}\).

\(\Rightarrow\frac{-1}{a+b+3}\ge-\frac{1}{5}\).

\(\Leftrightarrow\frac{-20}{a+b+3}\ge\frac{-20}{5}=-4\left(3\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).

Ta lại có: \(a+b\ge2\)(chứng minh trên).

\(\Leftrightarrow a+b+5\ge7\left(4\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).

Từ \(\left(3\right)\)và \(\left(4\right)\), ta được:

\(a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\ge7-4=3\left(5\right)\).

Từ \(\left(2\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:

\(P\ge3\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).

Vậy \(minP=3\Leftrightarrow a=b=1\).

Đề là:  \(P=\frac{a^2+b^2+5}{\left(a+b+3\right)}\) hay  \(a^2+b^2+\frac{5}{\left(a+b+3\right)}\) vậy bạn 

a) Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacopxki ta có :

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)

b) Ta có : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(đúng)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3ab+3bc+3ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)