Bạn có ghi sai đề không vậy? Mình nghĩ đẳng thức cuối nó là \(z=\left(a-b+c\right)^2+8ca\). 

 Khi đó theo nguyên lí Dirichlet, trong 3 số \(a,b,c\) sẽ tồn tại 2 số nằm cùng phía so với 0 (cùng lớn hơn 0 hoặc cùng bé hơn 0). Giả sử 2 số này là \(a,b\). Khi đó hiển nhiên \(ab>0\) (do a, b cùng dấu), từ đó suy ra \(x=\left(a-b+c\right)^2+8ab>0\) , đpcm.

ko đâu bạn

đề bài thế nha

#)Giải :

a) Để C/m a và b là hai số đối nhau => a + b = 0

Ta có : \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=a^2-2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=0a\Leftrightarrow a+b=0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Ta có (a-b+c)^2 luôn dương vì bingf phương của một số luôn dương

Vì cả  3 số a;b;c đều có vai trò như nhau nên 

Giả sử:1+cả 3 số đều âm

2+một trong 3 số có 1 số bằng không(c=0)

3+hai số âm:một số dương (a;b âm)

4+một số âm;2 số dương(a âm)

13 sốâm thì tích 2 số dương *8ab dương(đpcm)

2 tích 2 số bằng 0 *8bc;8ca=0

3 tích 2 số dương 8ab dương 

4 tích 2 số còn lại dương*8bc dương

vậy................

Do a;b;c ko đồng thời bằng 0 nên \(a^2+b^2+c^2>0\)

Giả sử cả 3 biểu thức đều không dương

\(\Rightarrow A+B+C\le0\)

\(\Leftrightarrow3\left(a+b+c\right)^2-8\left(ab+bc+ca\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2-2ab-2bc-2ca\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\le0\) (vô lý do \(a^2+b^2+c^2>0\) và 3 số hạng còn lại đều ko âm)

Vậy điều giả sử là sai hay ít nhất 1 trong 3 biểu thức phải dương

:D

\(\frac{1}{a\left(a^2+8bc\right)}+\frac{1}{b\left(b^2+8ca\right)}+\frac{1}{c\left(c^2+ab\right)}\le\frac{1}{3abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\frac{a^2}{bc}+8}+\frac{1}{\frac{b^2}{ca}+8}+\frac{1}{\frac{c^2}{ab}+8}\le3\) (*)

Đặt \(\frac{a^2}{bc}=x;\frac{b^2}{ca}=y;\frac{c^2}{ab}=z\left(x,y,z>0\right)\)

(*)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+8}+\frac{1}{y+8}+\frac{1}{z+8}\le\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow16\left(x+y+z\right)+5\left(xy+yz+zx\right)\ge63\)(**)

(**) đúng bởi \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3;xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=3\)