1/ *>p=2 thì p^2+2=6(loại vì 6 ko là số nghuyên tố) 
*>p=3thì p^2+2=11(chọn vì 11 là số nghuyên tố) 
=>p^3+2=3^3+2=29 (là số nghuyên tố) 
*>p>3 
vì p là số nguyên tố =>p ko chia hết cho 3 (1) 
p thuộc Z =>p^2 là số chính phương (2) 
từ (1),(2)=>p^2 chia 3 dư 1 
=>p^2+2 chia hết cho 3 (3) 
mặt khác p>3 
=>p^2>9 
=>p^2+2>11 (4) 
từ (3),(4)=>p^2+2 ko là số nguyên tố (trái với đề bài) 

nhầm đề , đây là bài đúng ! ^.^

1/ *>p=2 thì p^2+2=6(loại vì 6 ko là số nghuyên tố) 
*>p=3thì p^2+2=11(chọn vì 11 là số nghuyên tố) 
=>p^3+2=3^3+2=29 (là số nghuyên tố) 
*>p>3 
vì p là số nguyên tố =>p ko chia hết cho 3 (1) 
p thuộc Z =>p^2 là số chính phương (2) 
từ (1),(2)=>p^2 chia 3 dư 1 
=>p^2+2 chia hết cho 3 (3) 
mặt khác p>3 
=>p^2>9 
=>p^2+2>11 (4) 
từ (3),(4)=>p^2+2 ko là số nguyên tố (trái với đề bài) 
2/ Đặt Q(x)=P(x)-(x+1) 
Q(1999)=P(1999)-(1999+1)=2000-2000=0 
Q(2000)=P(2000)-(2000+1)=2001-2001=0 
=>x-1999,x-2000 là các nghiệm của Q(x) 
Đặt Q(x)=(x-1999)(x-2000).g(x) 
Do P(x) là đa thức bậc 3 có hệ số x^3 là số nguyên khác 0,-1 
=>Q(x) là đa thức bậc 3 có hệ số x^3 là số nguyên khác 0,-1 
=>g(x)có dạng ax+b (a thuộc Z,a khác 0,-1) 
=>Q(x) =(x-1999)(x-2000).( ax+b) 
=>P(x)=(x-1999)(x-2000).( ax+b)+( x+1) 
P(2001)=(2001-1999)(2001-2000) 
(a.2001+b)+(2001+1) 
=2(2001a+b)+2002 
=4002a+2b+2002 
P(1998)= (1998-1999)(1998-2000)(a.1998+b) 
+(1998+1) 
=2(a.1998+b)+1999 
=3996a+2b+1999 
=>P(2001)- P(1998)= 4002a+2b+2002-3996a-2b-1999 
=6a+3 
=3(a+2) 
Do a thuộc Z,a khác -1 
=>a+2 thuộc Z,a+2 khác 1 
=>3(a+2) chia hết cho 3 , 3(a+2) khác 3 
=>3(a+2) là hợp số 
=> P(2001) - P(1998) là hợp số

+) Với p=2 thì p= 2+2=4    LÀ HỢP SỐ

                       p=2+4=6     LÀ HỢP SỐ

vậy p=2 loại

+) Với p=3 thì p= 3+2 = 5 là số nguyên tố

                            3+4=7    là số nguyên tố

Vậy p=3 nhận

+) Với p<3 thì p=3k+1 hoặc 3k+2

TH1: p=3k+1 thì p=3k+ 1+ 2=3k+3 chia hết cho 3 và <3 nên p+2 là hợp số

vậy p=3k+ 1 loại

TH2: p=3k+ 2 thì p=3k+2+2=3k+ 4 chia hết cho 2 và <3 nên p+ 2  là hợp số

vậy p=3k+ 2 loại

vậy p = 3 thì p+2 và p+4 là các số nguyên tố

Giải:

Ta xét các trường hợp:

Nếu \(p=2\) thì \(p+20=22\) không là số nguyên tố (loại)

Nếu \(p=3\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}p+20=23\\p+40=43\\p+80=83\end{matrix}\right.\) đều là số nguyên tố (chọn)

Nếu \(p>3\) thì ta có 2 dạng là \(\left[{}\begin{matrix}3k+1\\3k+2\end{matrix}\right.\)

\(*)\) Với \(p=3k+1\) ta có:

\(p+20=\left(3k+1\right)+20=3k+21\) \(=3\left(k+7\right)\)

Dễ thấy \(\left[{}\begin{matrix}3\left(k+7\right)⋮3\\3\left(k+7\right)>3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(k+7\right)\) là hợp số (loại)

\(*)\) Với \(p=3k+2\) ta có:

\(p+20=\left(3k+2\right)+40=3k+42\) \(=3\left(k+14\right)\)

Dễ thấy \(\left[{}\begin{matrix}3\left(k+14\right)⋮3\\3\left(k+14\right)>3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(k+14\right)\) là hợp số (loại)

Vậy với \(p=3\) thì \(p+80\) cũng là số nguyên tố (Đpcm)

trừ điểm Lê Nhật Minh đi